Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a. \(\)\(y = -x^4 + 8x^2 – 1\)
b. \(y = x^4 – 2x^2 + 2\)
c. \(y = \frac{1}{2}x^4 – x^2 – \frac{3}{2}\)
d. \(y = 2x^2 – x^4\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = -x^4 + 8x^2 – 1\)
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
* Xét chiều biến thiên của hàm số:
– Tính đạo hàm.
– Tìm các điểm \(x_i\) mà tại đó đạo hàm có \(y’ = 0\) hoặc đạo hàm không xác định.
– Xét dấu đạo hàm \(y’\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
* Tìm cực trị: \(y(x_i)\)
* Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có: \(\lim_{x → ±∞}y; \lim_{x → x_0}y….\)
* Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
– Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x = 0 ⇒ y = … ⇒ A(0;…..)\)
– Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y = 0 ⇒ x = …. ⇒ B(…; 0)\)
Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Giải:
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 – 4)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ -4x(x^2 – 4) = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x^2 – 4 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x = ±2\\ \end{gathered} \right.\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2); nghịch biến trên khoảng (-2; 0) và (2; +∞).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x = -2\) và \(x = 2; y_{CĐ} = y(±2) = 15\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0; y_{CT} = -1\)
– Giới hạn: \(\lim_{x → ±∞}y = -∞\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao Oy tại điểm (0; -1)
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị
Câu b: \(y = x^4 – 2x^2 + 2\)
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ 4x(x^2 – 1) = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x^2 – 1 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x = ±1\\ \end{gathered} \right.\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞); nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0; y_{CĐ} = 2\)
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x = -1\) và \(x = 1; y_{CT} = y(±1) =1\)
– Giới hạn: \(\lim_{x → ±∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị giao Oy tại điểm (0; 2)
Đồ thị:
Câu c: \(y = \frac{1}{2}x^4 – x^2 – \frac{3}{2}\)
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = 2x^3 + 2x = 2x(x^2 + 1)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ 2x(x^2 + 1) = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x^2 + 1 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ x = 0\)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0); đồng biến trên khoảng (0; +∞).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0; y_{CT} = \frac{-3}{2}\)
– Giới hạn: \(\lim_{x → ±∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị giao điểm Ox tại hai điểm (-1; 0) và (1; 0); giao Oy tại \((0; \frac{-3}{2})\)
Đồ thị như hình bên.
Câu d: \(y = 2x^2 – x^4\)
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = -4x – 4x^3 = -4x(1 + x^2)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ -4x(1 + x^2) = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x^2 + 1 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ x = 0\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng: (-∞; 0); ngịch biến trên khoảng: (0; +∞).
– Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \(x = 0; y_{CĐ} = 3\)
– Giới hạn: \(\lim_{x → ±∞}y = -∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị giao Ox tại hai điểm (1; 0) và (-1; 0); giao Oy tại điểm (0; 3).
Đồ thị như hình bên.
Câu a: \(y = -x^4 + 8x^2 – 1\)
Xét hàm số \(y = -x^4 + 8x^2 – 1\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = -∞; \lim_{x → +∞}y = -∞\)
Sự biến thiên:
- Đạo hàm: \(y’ = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 – 4)\)
- \(y’ = 0 ⇔ x = 0\) hoặc \(x = ±2\)
Bảng biến thiên:
Vây hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; -2)\) và \((0; 2)\), và nghịch biến trên các khoảng \((-2; 0)\) và \((2; +∞)\).
Cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại 2 điểm x = -2 và x = 2, và giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(-2) = y(2) = 15\).
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, và giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(0) = -1\).
Đồ thị:
- Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
- Đồ thị cắt trục Oy tai điểm (0; -1).
Ta có đồ thị của hàm số:
Câu b: \(y = x^4 – 2x^2 + 2\)
Xét hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 2\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn hàm số: \(\lim_{x → -∞}y = +∞; \lim_{x → +∞}y = +∞\)
Sự biến thiên:
- Đạo hàm: \(y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1)\).
- \(y’ = 0 ⇔ x = 0\) hoặc \(x = ±1\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1; 0)\) và \((1; +∞)\); và nghịch biến trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((0; 1)\).
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\); và giá trị cực đại \(y_{CĐ} = 2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x = -1\) và \(x = 1\); và giá trị cực tiểu \(y_{CT} = y(±1) = 1\).
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\)
Đồ thị cuả hàm số:
Câu c: \(y = \frac{1}{2}x^4 – x^2 – \frac{3}{2}\)
Xét hàm số \(y = \frac{1}{2}x^4 – x^2 – \frac{3}{2}\)
Ta có tập xác định: D= R
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = +∞; \lim_{x → +∞}y = +∞\).
Sự biến thiên:
- Đạo hàm: \(y’ = 2x^3 + 2x = 2x(x^2 + 1); y’ = 0 ⇔ x = 0\).
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞; 0)\); đồng biến trên khoảng \((0; +∞)\).
Cực trị:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0; y_{CT} = \frac{-3}{2}\); Hàm số không có cực đại/
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((-1; 0)\) và \((1; 0)\); giao \(Oy\) tại \((0; \frac{-3}{2})\)
Độ thị:
Câu d: \(y = 2x^2 – x^4\)
Xét hàm số \(y= -2x^2 – x^4 + 3\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = -∞; \lim_{x → +∞}y = -∞\).
Sự biến thiên của hàm số:
Đạo hàm: \(y’ = -4x – 4x^3 = -4x(1 + x^2); y’ = 0 ⇔ x = 0\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng: \((-∞; 0)\); và nghịch biến trên khoảng: \((0; +∞)\).
Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại \(x = 0\); và giá trị cực đại là \(y_{CĐ} = 3\), hàm số không có cực tiểu.
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((1; 0)\) và \((-1; 0)\); giao \(Oy\) tại điểm \((0; 3)\).
Đồ thị hàm số như sau:
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời