Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Bài Tập 2 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng với \(\)\(n ∈ N^*\), ta có:
a. \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3
b. \(4^n + 15n – 1\) chia hết cho 9
c. \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(m = k ≥ 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n = k + 1\).
Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Giải:
Đặt \(S_n = n^3 + 3n^2 + 5n\)
Với \(n = 1 thì S_1 = 1^3 + 3.1^2 + 5.1 = 9\) chia hết cho 3.
Giả sử với \(n = k ≥ 1, S_k = (k^3 + 3k^2 + 5k) ⋮ 3\).
Ta phải chứng minh rằng \(S_{k + 1} ⋮ 3\).
Thật vậy:
\(S_{k + 1} = (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1)\)
\(= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 5k + 5\)
\(= (k^3 + 3k^2 + 5k) + 3k^2 + 9k + 9\)
\(= S_k + 3(k^2 + 3k + 3)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k ⋮ 3\).
Mà \(3(k^2 + 3k + 3) ⋮ 3\)
Vậy \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3 với mọi \(n ∈ N^*\).
Cách khác
Chứng minh trực tiếp
Ta có:
\(n^3 + 3n^2 + 5n\)
\(= n.(n^2 + 3n + 5)\)
\(= n.(n^2 + 3n + 2 + 3)\)
\(= n.(n^2 + 3n + 2) + 3n\)
\(= n.(n + 1)(n + 2) + 3n\)
Mà: \(n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3\) (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)
và \(3n ⋮ 3\)
\(⇒ n^3 + 3n^2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.\)
Vậy \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3 với mọi \(∀n ∈ N^*\).
Câu b: \(4^n + 15n – 1\) chia hết cho 9
Đặt \(S_n = 4^n + 15n – 1\)
Với \(n = 1, S_1 = 4^1 + 15.1 – 1 = 18\) nên \(S_1 ⋮ 9\)
Giả sử với \(n = k ≥ 1\) thì \(S_k = 4^k + 15k – 1\) chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh \(S_{k + 1} ⋮ 9\).
Thật vậy, ta có:
\(S_{k + 1} = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1\)
\(= 4.4^k + 15k + 15 – 1\)
\(= 4.4^k + 15k + 14\)
\(= 4.4^k + 60k – 45k + 18 – 4\)
\(= (4.4^k + 60k – 4) – 45k + 18\)
\(= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18\)
\(= 4S_k – 9(5k – 2)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k ⋮ 9\) nên \(4S_k ⋮ 9\).
Mặt khác \(9(5k – 2) ⋮ 9\), nên \(S_{k + 1} ⋮ 9\)
Vậy \((4^n + 15n – 1) ⋮ 9\) với mọi \(n ∈ N^*\).
Câu c: \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6
Đặt \(S_n = n^3 + 11n\)
Với \(n = 1\), ta có \(S_1 = 1^3 + 11.1 = 12\) nên \(S_1 ⋮ 6\).
Giả sử với \(n = k ≥ 1, S_k = k^3 + 11k\) chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh \(S_{k + 1} ⋮ 6\).
Thật vậy, ta có:
\(S_{k + 1} = (k + 1)^3 + 11(k + 1)\)
\(= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 11k + 11\)
\(= (k^3 + 11k) + (3k^2 + 3k + 12)\)
\(= (k^3 + 11k) + 3(k^2 + k + 4)\)
\(= S_k + 3(k^2 + k + 4)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k ⋮ 6\), mặt khác \(k^2 + k + 4 = k(k + 1) + 4\) là số chẵn nên \(3(k^2 + k + 4) ⋮ 6\), do đó \(S_{k + 1} ⋮ 6\).
Vậy \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6 với mọi \(n ∈ N^*\).
Câu a: \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3
Đặt \(S_n = n^3 + 3n^2 + 5n\)
Với \(n = 1\) thì \(S_1 = 9\) chia hết cho 3.
Giả sử với \(n = k ≥ 1\), ta có \(S_k = (k^3 + 3k^2 + 5k ⋮ 3\)
Ta cần phải chứng minh rằng \(S_{k + 1} ⋮ 3\)
Thật vậy ta có:
\((k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1)\)
\(= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 5k + 5\)
\(= k^3 + 3k^2 + 5k + 3k^2 + 9k + 9\)
hay \(S_{k + 1} = S_k + 3(k^2 + 3k + 3)\)
Theo giả thiết quy nạp thì ta có được \(S_k ⋮ 3\), mặt khác \(3(k^2 + 3k + 3) ⋮ 3\) nên \(S_{k + 1} ⋮ 3\).
Vậy \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3 với mọi \(n ∈ ℕ^*\).
Câu b: \(4^n + 15n – 1\) chia hết cho 9
Đặt \(S_n = 4^n + 15n – 1\)
Với \(n = 1, S_1 = 4^1 + 15.1 – 1 = 18\) nên \(S_1 ⋮ 9\)
Nếu giả sử với \(n = k ≥ 1\) thì \(S_k = 4^k + 15k – 1\) được chia hết cho \(9\).
Ta cần phải chứng minh \(S_{k + 1} ⋮ 9\).
Thật vậy, ta có:
\(S_{k + 1} = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1\)
\(= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)\)
Theo giả thiết quy nạp thì ta có \(S_k ⋮ 9\) nên \(4S_1 ⋮ 9\), mặt khác \(9(5k – 2) ⋮ 9\), nên \(S_{k + 1} ⋮ 9\)
Vậy \((4^n+ 15n – 1) ⋮ 9\) với mọi \(n ∈ ℕ^*\)
Câu c: \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6
Đặt \(S_n = n^3 + 11n\)
Với \(n = 1\), ta có \(S_1 = 1^3 + 11.1 = 12\) nên \(S_1 ⋮ 6\)
Giả sử với \(n = k ≥ 1\), ta có \(S_k = k^3 + 11k ⋮ 6\)
Ta cần phải chứng minh \(S_{k + 1} ⋮ 6\)
Thật vậy, ta có
\(S_{k + 1} = (k + 1)^3 + 11(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 11k + 11\)
\(= (k^3 + 11k) + 3(k^2 + k + 4) = S_k + 3(k^2 + k + 4)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k ⋮ 6\), mặt khác ta có \(k^2 + k + 4 = k(k + 1) + 4\) là số chẵn nên \(3(k^2 + k + 4) ⋮ 6\), do đó \(S_{k + 1} ⋮ 6\)
Vậy \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6 với mọi \(n ∈ ℕ^*\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời