Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Bài Tập 2 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a. \(\)\(y = \frac{3x + 1}{1 – x}\)
b. \(y = \frac{x^2 – 2x}{1 – x}\)
c. \(y = \sqrt{x^2 – x – 20}\)
d. \(y = \frac{2x}{x^2 – 9}\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = \frac{3x + 1}{1 – x}\)
Phương pháp giải:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm \(x_i (I = 1, 2, 3,…,n)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
– Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
– Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu \(y’ > 0\) thì hàm số đồng biến, nếu \(y’ < 0\) thì hàm số nghịch biến)
Ở bài toán này cần chú ý các tập xác định của hàm số.
Giải: \(y = \frac{3x + 1}{1 – x} = \frac{3x + 1}{-x + 1}\)
Tập xác định: D = R \ {1}
Có \(y’ = \frac{3.1 – (-1).1}{(-x + 1)^2} = \frac{4}{(-x + 1)^2} > 0 ∀x ∈ D.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó là: \((-∞; 1)\) và \((1; +∞)\).
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT: \(\mathop {\lim}\limits_{x → ±∞}\frac{3x + 1}{1 – x} = -3, \mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}\frac{3x + 1}{1 – x} = -∞, \mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}\frac{3x + 1}{1 – x} = +∞\).
Câu b: \(y = \frac{x^2 – 2x}{1 – x}\)
Giải:
Tập xác định: D = R\{1}
Có \(y’ = \frac{(2x – 2)(1 – x) + x^2 – 2x}{(1 – x)^2} = \frac{-x^2 + 2x – 2}{(1 – x)^2}\)
\(= \frac{-(x^2 – 2x + 2)}{(1 – x)^2} = \frac{-(x^2 – 2x + 1) – 1}{(1 – x)^2}\)
\(= \frac{-(x – 1)^2}{(1 – x)^2} = -1 – \frac{1}{(1 – x)^2} < 0 ∀x ∈ D.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: \((-∞; 1)\) và \((1; +∞)\).
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào bảng biến thiên:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{x^2 – 2x}{1 – x} = -∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x^2 – 2x}{1 – x} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}\frac{3x + 1}{1 – x} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}\frac{3x + 1}{1 – x} = -∞\)
Câu c: \(y = \sqrt{x^2 – x – 20}\)
Giải: \(y = \sqrt{x^2 – x – 20}\)
Có \(x^2 – x – 20 ≥ 0 ⇔ (x + 4) (x – 5) ≥ 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x ≤ -4\\ x ≥ 5 \end{matrix}\)
Tập xác định: \(D = (-∞; -4] ∪ [5; +∞)\)
Có \(y’ = \frac{2x – 1}{2\sqrt{x^2 – x – 20}} ⇒ y’ = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2} ∉ D\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞; -4)\) và đồng biến trên khoảng \((5; +∞)\).
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}\sqrt{x^2 – x – 20} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\sqrt{x^2 – x – 20} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 4^-}\sqrt{x^2 – x – 20} = 0\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 5^+}\sqrt{x^2 – x – 20} = 0\)
Câu d: \(y = \frac{2x}{x^2 – 9}\)
Giải: \(y = \frac{2x}{x^2 – 9}\)
Có \(x^2 – 9 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±3\)
Tập xác định: D = R \ {±3}
Có: \(y’ = \frac{2(x^2 – 9) – 2x.2x}{(x^2 – 9)^2} = \frac{-2x^2 – 18}{(x^2 – 9)^2} = \frac{-2(x^2 + 9)}{(x^2 – 9)^2} < 0 ∀x ∈ D.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: \((-∞; -3); (-3; 3)\) và \((3; +∞)\).
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{2x}{x^2 – 9} = 0\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2x}{x^2 – 9} = 0\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\frac{2x}{x^2 – 9} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^-}\frac{2x}{x^2 – 9} = -∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\frac{2x}{x^2 – 9} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^-}\frac{2x}{x^2 – 9} = -∞\)
Ở bài toán này ta xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ta thực hiện bốn bước sau:
Bước 1: Cần tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo của hàm số \(f'(x) = 0\). Tìm các điểm \(x_i (i= 1 , 2 ,…, n)\) sao cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Cần sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Cuối cùng là nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Câu a: \(y = \frac{3x + 1}{1 – x}\)
Xét hàm số: \(y = \frac{3x + 1}{1 – x}\)
Ta có tập xác định: D = R\{1}
\(y’ = \frac{4}{(1 – x)^2} > 0, ∀x ≠ 1.\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Như vậy có thể thấy hàm số đồng biến trên các khoảng: \((-∞; 1), (1; +∞).\).
Nhận xét:
Ta cần xét hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất (Hàm nhất biến) \(y = \frac{ax + b}{cx + d} (ad – bc ≠ 0, c ≠ 0)\):
Như vậy hàm số luôn luôn đồng biến và ngịch biến trên các khoảng \((-∞; -\frac{d}{c}) và (-\frac{d}{c}; +∞)\)
Công thức tính nhanh đạo hàm như sau: \(y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}\)
Câu b: \(y = \frac{x^2 – 2x}{1 – x}\)
Xét hàm số sau: \(y = \frac{x^2 – 2x}{1 – x}\)
Ta có tập xác định: \(D = R \ {1}\).
\(y’ = \frac{-x^2 + 2x – 2}{(1 – x)^2} < 0, ∀x ≠ 1.\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-∞; 1), (1; +∞).
Câu c: \(y = \sqrt{x^2 – x – 20}\)
Xét hàm số: \(y = \sqrt{x^2 – x – 20}\)
Ta có tập xác định: \(D = (-∞; -4] ∪ [5; +∞)\).
\(y’ = \frac{2x – 1}{2\sqrt{x^2 – x – 20}}, ∀x ∈ (-∞; -4) ∪ (5; +∞)\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Như vậy ta có hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞; -4)\) và đồng biến trên khoảng \((5; +∞)\).
Câu d: \(y = \frac{2x}{x^2 – 9}\)
Xét hàm số: \(y = \frac{2x}{x^2 – 9}\).
Ta có tập xác định: D = R \ {-3; 3}.
\(y’ = \frac{-2(x^2 + 9)}{(x^2 – 9)^2} < 0, ∀x ∈ D.\)
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Như vậy ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng: \((-∞; -3), (-3; 3), (3; +∞)\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời