Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Bài Tập 2 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD
a. Chứng minh rằng \(\)\(\vec{AB}.\vec{CD} + \vec{AC}.\vec{DB} + \vec{AD}.\vec{BC} = 0.\)
b. Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ DB thì AD ⊥ BC.
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11
Câu a: Chứng minh rằng \(\vec{AB}.\vec{CD} + \vec{AC}.\vec{DB} + \vec{AD}.\vec{BC} = 0.\)
\(\vec{AB}.\vec{CD} = \vec{AB}.(\vec{AD} – \vec{AC})\)
\(\vec{AC}.\vec{DB} = \vec{AC}.(\vec{AB} – \vec{AD})\)
\(\vec{AD}.\vec{BC} = \vec{AD}.(\vec{AC} – \vec{AB})\)
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:
\(\vec{AB}.\vec{CD} + \vec{AC}.\vec{DB} + \vec{AD}.\vec{BC}\)
\(= \vec{AB}(\vec{AD} – \vec{AC}) + \vec{AC}.(\vec{AB} – \vec{AD}) + \vec{AD}(\vec{AC} – \vec{AB})\)
\(= \vec{AB}.\vec{AD} – \vec{AB}.\vec{AC} + \vec{AC}.\vec{AB} – \vec{AC}.\vec{AD} + \vec{AD}.\vec{AC} – \vec{AD}.\vec{AB}\)
\(= \vec{AB}.\vec{AD} – \vec{AD}.\vec{AB} + \vec{AC}.\vec{AB} – \vec{AB}.\vec{AC} + \vec{AD}.\vec{AC} – \vec{AC}.\vec{AD}\)
\(= 0 + 0 + 0 = 0\)
Câu b: Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ DB thì AD ⊥ BC.
\(AB ⊥ CD ⇒ \vec{AB}.\vec{CD} = 0\)
\(AC ⊥ DB ⇒ \vec{AC}.\vec{DB} = 0\)
Từ đẳng thức câu a ta có:
\(⇒ \vec{AD}.\vec{BC} = 0 ⇒ AD ⊥ BC.\)
Câu a: Chứng minh rằng \(\vec{AB}.\vec{CD} + \vec{AC}.\vec{DB} + \vec{AD}.\vec{BC} = 0.\)
\(\vec{AB}.\vec{CD} = \vec{AB}.(\vec{AD} – \vec{AC})\)
\(\vec{AC}.\vec{DB} = \vec{AC}.(\vec{AB} – \vec{AD})\)
\(\vec{AD}.\vec{BC} = \vec{AD}.(\vec{AC} – \vec{AB}).\)
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được đẳng thức phải chứng minh.
Câu b: Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ DB thì AD ⊥ BC.
\(AB ⊥ CD ⇒ \vec{AB}.\vec{CD} = 0\)
\(AC ⊥ DB ⇒ \vec{AC}.\vec{DB} = 0\)
Từ đẳng thức câu a ta có:
\(⇒ \vec{AD}.\vec{BC} = 0 ⇒ AD ⊥ BC\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời