Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Bài Tập 3 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng hàm số \(\)\(y = \frac{x}{x^2 + 1}\) đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\); nghịch biến trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((1; +∞)\).
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 10 SGK Giải Tích 12
– Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm \(x_i (i = 1, 2, 3,…, n)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
– Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến nghịch biến.
Tập xác định: D = R
Có \(y’ = \frac{(x)’.(x^2 + 1) – x.(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2}\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ 1 – x^2 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 1\\ x = -1 \end{matrix}\)
Ta có: \(y’ > 0 ⇔ 1 – x^2 > 0 ⇔ -1 < x < 1\)
⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\).
⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((1; +∞)\).
– Tìm tập xác định của hàm số
– Tính đạo hàm của hàm số \(f'(x)\)
– Giải phương trình \(f'(x) = 0\)
– Bảng biến thiên
– Từ đó cho kết luận về sự đồng biến và nghịch biến
Xét hàm số \(y = \frac{x}{x^2 + 1}\)
Ta có tập xác định: D = R
\(y’ = (\frac{x}{x^2 + 1})’ = \frac{x'(x^2 + 1) – (x^2 + 1)’x}{(x^2 + 1)^2}\)
\(= \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2}\)
\(y’ = 0 ⇔ \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2} ⇔ 1 – x^2 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -1\\ x = 1 \end{matrix}\)
Với \(x = -1 ⇒ y = -\frac{1}{2}\)
Với \(x = 1 ⇒ y = \frac{1}{2}\)
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:
Ta có hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\) hàm số nghịch biến trên hai khoảng \((-∞; -1), (1; +∞)\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời