Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a. \(\)\(y = \frac{x + 3}{x – 1}\)
b. \(y = \frac{1 – 2x}{2x – 4}\)
c. \(y = \frac{-x + 2}{2x + 1}\)
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp12
Câu a: \(y = \frac{x + 3}{x – 1}\)
Phương pháp giải: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
* Xét chiều biến thiên của hàm số:
– Tính đạo hàm.
– Tìm các điểm \(x_i\) mà tại đó đạo hàm có \(y’ = 0\) hoặc đạo hàm không xác định.
– Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
* Tìm cực trị: \(y(x_i)\)
* Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có): \(\lim_{x → ±∞}y, \lim_{x → x_0}y,…\)
* Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
– Giao điểm của đồ thị với trục tung: x = 0 ⇒ y = …. ⇒ A(0;….)
– Giao điểm của đồ thị với trục hoành: y = 0 ⇒ x = ….. ⇒ B(….; 0)
– Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Giải:
Tập xác định: R\{1}
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = \frac{-4}{(x – 1)^2} < 0, ∀x ≠ 1\)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-∞; 1)\) và \((1; +∞)\)
– Cực trị: Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận: \(\lim_{x → 1^-}y = -∞; \lim_{x → 1^+}y = +∞; \lim_{x → ±∞}y = 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 1\); tiệm cận ngang là: \(y = 1\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(I(1; 1)\) làm tâm đối xứng.
Độ thị giao trục tung tại: \((0; -3)\), trục hoành tại \((-3; 0)\)
Câu b: \(y = \frac{1 – 2x}{2x – 4}\)
Giải: Tập xác định: R\{2}
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = \frac{6}{(2x – 4)^2} > 0, ∀x ≠ 2\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng: (-∞; 2) và (2; +∞)
– Cực trị: Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận:
\(\lim_{x → 2^-}y = +∞; \lim_{x → 2^+}y = -∞; \lim_{x → ±∞}y = -1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 2\); tiệm cận ngang là \(y = -1\)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(I(2; -1)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: \((0; -\frac{1}{4})\), trục hoành tại: \((\frac{1}{2}; 0)\)
Câu c: \(y = \frac{-x + 2}{2x + 1}\)
Giải:
Tập xác định: R\{\(-\frac{1}{2}\)}
Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = \frac{-5}{(2x + 1)^2} < 0, ∀x ≠ -\frac{1}{2}\)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-∞; \frac{-1}{2})\) và \((\frac{-1}{2}; +∞)\)
– Cực trị: Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận:
\(\lim_{x → -\frac{1}{2}^-}y = -∞, \lim_{x → -\frac{1}{2}^+}y = +∞, \lim_{x → ±∞}y = -\frac{1}{2}\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = -\frac{1}{2}\); tiệm cận ngang là: \(y = -\frac{1}{2}\)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(I(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao Ox tại: (2; 0), Oy tại: (0; 2)
Câu a: \(y = \frac{x + 3}{x – 1}\)
Xét hàm số \(y = \frac{x + 3}{x – 1}\)
Ta có tập xác định: D = R\{1}
Đạo hàm: \(y’ = \frac{-4}{(x – 1)^2} < 0, ∀x ≠1.\)
Tiệm cận:
\(\lim_{x → 1}y = -∞; \lim_{x → 1^+}y = +∞\) suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x → +∞}y = 1; \lim_{x → -∞}y = 1\) suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((–∞; 1)\) và \((1; +∞)\).
Do đó hàm số không có cực trị.
- Đồ thị nhận điểm \(I(1; 1)\) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị giao trục tung tại:\((0; -3)\), trục hoành tại \((-3; 0)\)
Câu b: \(y = \frac{1 – 2x}{2x – 4}\)
Xét hàm số \(y = \frac{1 – 2x}{2x – 4}\)
Ta có tập xác định: D = R\{2}
Đạo hàm: \(y’ = \frac{6}{(2x – 4)^2} > 0, ∀x ≠ 2\).
Tiệm cận:
\(\lim_{x → 2}y = +∞; \lim_{x → 2^+}y = -∞\) đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x → +∞} = -1; \lim_{x → -∞}y = -1\) đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; 2)\) và \((2; +∞)\).
Cực trị hàm số không có.
Đồ thị hàm số:
- Đồ thị của hàm số nhận điểm I(2; -1) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại \((\frac{1}{2}; 0)\) và cắt trục Oy tại \((0; -\frac{1}{4})\)
- Tuy nhiên, ta cần lấy thêm một điểm thuộc nhánh còn lại để vẽ đồ thị hàm số: với x = 3 suy ra \(y = \frac{5}{2}\)
Vẽ đồ thị hàm số:
Câu c: \(y = \frac{-x + 2}{2x + 1}\)
Xét hàm số \(y = \frac{-x + 2}{2x + 1}\)
Ta có tập xác định: D = R\\({-\frac{1}{2}}\)
Đạo hàm: \(y’ = \frac{-5}{(2x + 1)^2} < 0, ∀x ≠ -\frac{1}{2}\).
Tiệm cận của hàm số:
\(\lim_{x → (-\frac{1}{2})^-}y = -∞; \lim_{x → (-\frac{1}{2})^-}y = +∞\) cho nên đường thẳng \(x = -\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x → +∞}y = -\frac{1}{2}; \lim_{x → –∞}y = -\frac{1}{2}\) cho nên đường thẳng \(y = -\frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên hai khoảng \((-∞; -\frac{1}{2})\) và \((-\frac{1}{2}; +∞)\).
Cực trị của hàm số là không có.
Đồ thị:
- Đồ thị của hàm số nhận điểm \(I(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})\) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm (2; 0), và cắt trục Oy tại điểm (0; 2). Ta lấy thêm điểm (-1; -3) thuộc nhánh còn lại để thuận lợi hơn cho việc vễ đồ thị.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời