Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng – Hình Học Lớp 10
Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ
Bài Tập 3 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính \(\)\(AB = 2R\). Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
a. Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
b. Hãy chứng minh kết quả câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý:
\(\vec{a} ⊥ \vec{b} ⇔ \vec{a}.\vec{b} = 0\)
Giải:
AB là đường kính nên \(\widehat{AMB} = \widehat{ANB} = 90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(⇒ \begin{cases}AM ⊥ MB\\AN ⊥ NB\end{cases}\)
Ta có: \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM})\)
\(= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}\)
Mặt khác: \(\overrightarrow{AI} ⊥ \overrightarrow{BM}\) (do AM ⊥ MB) nên \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM} = 0\)
Từ đó: \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} + 0 = \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\)
Ta có: \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}) = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AN}\)
Mặt khác: \(\overrightarrow{BI} ⊥ \overrightarrow{AN}\) (vì BN ⊥ NA) nên \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AN} = 0\)
Từ đó: \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA} + 0 = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
Câu b: Hãy chứng minh kết quả câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R.
Phương pháp giải:
Sử dụng kết quả câu a suy ra đáp án, chú ý \(\vec{a}.\vec{a} = |\vec{a}|^2\)
Giải:
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\)
\(= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
\(= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}.(-\overrightarrow{AB})\)
\(= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AB}\)
\(= \overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AI} – \overrightarrow{BI})\)
\(= \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})\)
\(= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}^2 = 4R^2\)
Câu a: Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
Ta có: \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI}(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}) = \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{MB}\)
Ta có: \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BI}(\overrightarrow{BN} + \overrightarrow{NA})\)
\(= \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{NA}\)
Mặt khác: \(\overrightarrow{BI} ⊥ \overrightarrow{NA}\) nên \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{NA} = 0\)
Từ đó: \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\)
Câu b: Hãy chứng minh kết quả câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R.
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\)
\(= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
\(= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AI} – \overrightarrow{BI}) – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}\)
\(= \overrightarrow{AB}^2 = 4R^2\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Thuộc Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời