Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10
Bài 3: Phương Trình Đường Elip
Bài Tập 3 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a. Elip đi qua các điểm \(\)\(M(0; 3)\) và \(N(3; -\frac{12}{5})\)
b. Elip có một tiêu điểm là \(F_1(-\sqrt{3}; 0)\) và điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N(3; -\frac{12}{5})\)
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Thay tọa độ các điểm M, N thuộc ellip vào phương trình ellip để tìm a và b.
Giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Elip đi qua \(M(0; 3)\)
\(\frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1 ⇔ \frac{9}{b^2} = 1 ⇒ b^2 = 9\)
Elip đi qua \(N(3; \frac{-12}{5})\)
\(\frac{3^2}{a^2} + \frac{(\frac{-12}{5})^2}{9} = 1 ⇔ \frac{9}{a^2} = \frac{9}{25} ⇒ a^2 = 25.\)
Phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)
Câu b: Elip có một tiêu điểm là \(F_1(-\sqrt{3}; 0)\) và điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
– Từ tiêu điểm F ta suy ra được c.
– Sử dụng công thức \(c^2 = a^2 – b^2\)
Giải:
Ta có: \(F_1(-\sqrt{3}; 0) ⇒ -c = -\sqrt{3} ⇔ c = \sqrt{3} ⇒ c^2 = 3\)
Elip đi qua điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(\frac{1}{a^2} + \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{b^2} = 1 ⇒ \frac{1}{a^2} + \frac{3}{4b^2} = 1 (1)\)
Mặt khác: \(c^2 = a^2 – b^2\)
\(⇒ 3 = a^2 – b^2 ⇒ a^2 = b^2 + 3\)
Thế vào (1) ta được: \(\frac{1}{b^2 + 3} + \frac{3}{4b^2} = 1\)
\(⇔ \frac{4b^2 + 3b^2 + 9}{4b^4 + 12b^2} = 1\)
\(⇔ 4b^2 + 3b^2 + 9 = 4b^4 + 12b^2\)
\(⇔ 4b^4 + 5b^2 – 9 = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} b^2 = 1 (thỏa \, \, mãn) \\b^2 = -\frac{9}{4} (loại)\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇒ a^2 = b^2 + 3 = 1 + 3 = 4\)
Phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1\)
Câu a: Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N(3; -\frac{12}{5})\)
Ta có: \(M(0; 3) ∈ (E)\) và \(N(3; -\frac{12}{5}) ∈ (E)\)
\(⇒ \begin{cases}\frac{9}{b^2} = 1\\ \frac{9}{a^2} + \frac{144}{25b^2} = 1\end{cases} ⇔ \begin{cases}b^2 = 9\\ a^2 = 25\end{cases}\)
Phương trình chính tắc của \((E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)
Câu b: Elip có một tiêu điểm là \(F_1(-\sqrt{3}; 0)\) và điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.
Tiêu điểm \(F_1(-c; 0)\) nên \(c = \sqrt{3}\) và \(M(; \frac{\sqrt{3}}{2}) ∈ (E) ⇒ \frac{1}{a^2} + \frac{3}{4b^2} = 1\)
\(a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + 3\)
Ta có hệ phương trình: \(\begin{cases}a^2 + b^2 = 3\\ \frac{1}{a^2} + \frac{3}{4b^2} = 1\end{cases} ⇔ \begin{cases}b^2 = 1\\ a^2 = 4\end{cases}\) Phương trình chính tắc của \((E): \frac{x^2}{4} + y^2 = 1\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 3: Phương Trình Đường Elip Thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời