Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 10
Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác đều ABC cạnh a.
a. Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính \(MA^2 + MB^2 + MC^2\) theo a.
b. Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho \(NA^2 + NB^2 + NC^2\) nhỏ nhất.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính \(MA^2 + MB^2 + MC^2\) theo a.
Ta có: \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} – \overrightarrow{ON}\)
\(\overrightarrow{MA}^2 = (\overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OM})^2\)
\(= \overrightarrow{OA}^2 + \overrightarrow{OM}^2 – 2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}\)
\(⇒ \overrightarrow{MA}^2 = 2R^2 – 2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM} (1)\)
Tương tự ta có:
\(\overrightarrow{MB}^2 = \overrightarrow{MB}^2 = 2R^2 – 2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OM} (2)\)
\(\overrightarrow{MC}^2 = \overrightarrow{MC}^2 = 2R^2 – 2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OM} (3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 6R^2 – 2\overrightarrow{OM}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)
O cũng là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\)
Suy ra \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 6R^2\)
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có:
\(\frac{a}{sinA} = 2R ⇔ \frac{a}{sin60^0} = 2R ⇔ R = \frac{a}{2sin60^0} = \frac{a}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 6.(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = 2a^2\)
Câu b: Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho \(NA^2 + NB^2 + NC^2\) nhỏ nhất.
\(NA^2 + NB^2 + NC^2\)
\(= \overrightarrow{NA}^2 + \overrightarrow{NB}^2 + \overrightarrow{NC}^2\)
\(= (\overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OA})^2 + (\overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OB})^2 + (\overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OC})^2\)
\(= \overrightarrow{NO}^2 + 2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OA}^2 + \overrightarrow{NO}^2 + 2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB}^2 + \overrightarrow{NO}^2 + 2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC}^2\)
\(= 3NO^2 + 2\overrightarrow{NO}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) + (OA^2 + OB^2 + OC^2) = 3NO^2 + 3R^2\)
(vì \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\) và \(OA = OB = OC = R\))
Vì R không đổi nên để \(NA^2 + NB^2 + NC^2\) nhỏ nhất thì NO nhỏ nhất hay N là hình chiếu của O trên d.
Vậy N là hình chiếu của O trên d thì \(NA^2 + NB^2 + NC^2\) nhỏ nhất.
Câu a: Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính MA^2 + MB^2 + MC^2 theo a.
Gọi O và \(\)\(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Khi đó O cũng là trong tâm tam giác nên: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{o}\)
Ta có: \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ⇒ MA^2 = 2R^2 + \overrightarrow{MO}\overrightarrow{OA}\)
\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ⇒ MB^2 = 2R^2 + \overrightarrow{MO}\overrightarrow{OB}\)
\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ⇒ MC^2 = 2R^2 + \overrightarrow{MO}\overrightarrow{OC}\)
\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 6R^2 + \overrightarrow{MO}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = 6R^2 = 2a^2\)
Câu b: Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho \(NA^2 + NB^2 + NC^2\) nhỏ nhất.
\(\overrightarrow{NA} = \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OA} ⇒ NA^2 = NO^2 + OA^2 + \overrightarrow{NO}\overrightarrow{OA}\) với \(∀ N ∈ (d)\)
\(\overrightarrow{NB} = \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OB} ⇒ NB^2 = NO^2 + OB^2 + \overrightarrow{NO}\overrightarrow{OB}\)
\(\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OC} ⇒ NC^2 = NO^2 + OC^2 + \overrightarrow{NO}\overrightarrow{OC}\)
\(NA^2 + NB^2 + NC^2 = 3NO^2 + OA^2 + OB^2 + OC^2 + \overrightarrow{MO}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)
= \(3NO^2 + OA^2 + OB^2 + OC^2 = 3NO^2 + 3R^2 = 3NO^2 + a^2\)
\(NA^2 + NB^2 + NC^2\) nhỏ nhất khi \(3NO^2\) nhỏ nhất. suy ra: \(NO ⊥ (d)\) tị N. Vậy, N là hình chiếu vuông góc của trọng tâm O của tam giác ABC lên (d).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10 Thuộc Ôn Tập Cuối Năm Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời