Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác – Đại Số Lớp 10
Bài 3: Công Thức Lượng Giác
Bài Tập 4 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Chứng minh các đẳng thức
a. \(\)\(\frac{cos(a – b)}{cos(a + b)} = \frac{cotacotb + 1}{cotacotb – 1}\)
b. \(sin(a + b)sin(a – b) = sin^2a – sin^2b = cos^2b – cos^2a\)
c. \(cos(a + b)cos(a – b) = cos^2a – sin^2b = cos^2b – sin^2a\)
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Câu a: \(\frac{cos(a – b)}{cos(a + b)} = \frac{cotacotb + 1}{cotacotb – 1}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức:
– \(cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ\)
– \(cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ\)
Giải:
Áp dụng công thức \(cos(a + b)\) với với VT sau đó chia cả tử và mẫu cho \(sinasinb\) ta được:
\(\frac{cos(a – b)}{cos(a + b)} = \frac{cosacosb + sinasinb}{cosacosb – sinasinb}\)
\(= \frac{\frac{cosacosb + sinasinb}{sinasinb}}{\frac{cosacosb – sinasinb}{sinasinb}}\)
\(= \frac{\frac{cosacosb}{sinasinb} + \frac{sinasinb}{sinasinb}}{\frac{cosacosb}{sinasinb} – \frac{sinasinb}{sinasinb}}\)
\(= \frac{\frac{cosa}{sina} . \frac{cosb}{sinb} – 1}{\frac{cosa}{sina} . \frac{cosb}{sinb} + 1}\)
\(= \frac{cotacotb + 1}{cotacotb – 1}\)
Câu b: \(sin(a + b)sin(a – b) = sin^2a – sin^2b = cos^2b – cos^2a\)
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức:
– \(sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ\)
– \(sin(α – β) = sinαcosβ – cosαsinβ\)
– \(cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ\)
– \(cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ\)
Giải:
\(VT = (sinacosb + cosasinb).(sinacosb – cosasinb)\)
\(= (sinacosb)^2 – (cosasinb)^2 = sin^2acos^2b – cos^2sin^2b\)
\(= sin^2a(1 – sin^2b) – (1 – sin^2a)sin^2b\)
\(= sin^2a – sin^2asin^2b – sin^2b + sin^2asin^2b = sin^2a – sin^2b\) (đpcm)
Lại có:
\(sin^2acos^2b – cos^2asin^2b\)
\(= (1 – cos^2a)cos^2b – cos^2a(1 – cos^2b)\)
\(= cos^2b – cos^2bcos^2a – cos^2a + cos^2acos^2b\)
\(= cos^2b – cos^2a\) (đpcm)
Hoặc từ \(VT = sin^2a – sin^2b\) ta có:
\(sin^2a – sin^2b\)
\(= (1 – cos^2a) – (1 – cos^2b)\)
\(= 1 – cos^2a – 1 + cos^2b\)
\(= cos^2b – cos^2a\)
\(⇒ VT = cos^2b – cos^2a\) (đpcm)
Câu c: \(cos(a + b)cos(a – b) = cos^2a – sin^2b = cos^2b – sin^2a\)
Phương pháp giải:
– \(cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ\)
– \(cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ\)
Giải:
\(VT = (cosacosb – sinasinb).(cosacosb + sinasinb)\)
\(= (cosacosb)^2 – (sinasinb)^2\)
\(= cos^2acos^2b – sin^2asin^2b\)
\(= cos^2a(1 – sin^2b) – (1 – cos^2a)sin^2b\)
\(= cos^2a – cos^2asin^2b – sin^2b + cos^2asin^2b\)
\(= cos^2a – sin^2b\) (đpcm)
\(= (1 – sin^2a) – (1 – cos^2b)\)
\(= -sin^2a + cos^2b\)
\(= cos^2b – sin^2a\)
Áp dụng các công thức:
– \(\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β .\)
– \(\sin (α – β) = \sin α \cos β – \cos α \sin β .\)
– \(\cos (α – β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β .\)
– \(\cos (α + β) = \cos α \cos β – \sin α \sin β .\)
Câu a: \(\frac{cos(a – b)}{cos(a + b)} = \frac{cotacotb + 1}{cotacotb – 1}\)
\(\frac{cos(a – b)}{cos(a + b)} = \frac{cota.cotb + 1}{cota.cotb – 1}\)
\(\frac{cos(a – b)}{cos(a + b)} = \frac{cosa.cosb + sina.sinb}{cosa.cosb – sina.sinb}\)
= \(\frac{\frac{cosa.cosb}{sina.sinb}+ \frac{sina.sinb}{sina.sinb}}{\frac{cosa.cosb}{sina.sinb} – \frac{sina.sinb}{sina.sinb}} = \frac{cota.cotb + 1}{cota.cotb – 1}\) (đpcm)
Chú ý: Có thể biến vế phải thành vế trái
Câu b: \(sin(a + b)sin(a – b) = sin^2a – sin^2b = cos^2b – cos^2a\)
\(sin(a + b).sin(a – b) = sin^2a – sin^2b = cos^2b – cos^2a\)
= \(sin(a + b).sin(a – b)\)
= \((sina.cosb + sinb.cosa)(sina.cosb – sinb.cosa)\)
= \(sin^2a.cos^2b – sin^2b.cos^2a\)
= \(sin^2a(1 – sin^2b) – sin^2b(1 – sin^2a)\)
= \(sin^2a – sin^2b\) (đpcm)
= \(1 – cos^2a -( 1 – cos^2b)\)
= \(cos^2b – cos^2a\) (đpcm)
Câu c: \(cos(a + b)cos(a – b) = cos^2a – sin^2b = cos^2b – sin^2a\)
\(cos(a + b).cos(a – b) = cos^2a – sin^2b = cos^2b – sin^2a\)
\(= cos(a + b) – cos(a – b)\)
\(= (cosa.cosb – sina.sinb)(cosa.cosb + sina.sinb)\)
\(= cos^2a.cos^2b – sin^2a.sin^2b\)
\(= cos^2a(1 – sin^2b) – (1 – cos^2a)sin^2b\)
\(= cos^2a – sin^2b\) (đpcm)
\(= cos^2b – sin^2a\) (đpcm)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10 Của Bài 3: Công Thức Lượng Giác Thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Môn Đại Số Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Trả lời