Ôn Tập Cuối Năm – Đại Số Lớp 10
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 4 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
Chứng minh các bất đẳng thức sau
a. \(\)\(5(x – 1) < x^5 – 1 < 5x^4(x – 1)\), nếu \(x – 1 > 0\)
b. \(x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 ≥ 0\), biết rằng \(x + y ≥ 0\)
c. \(\sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} < 5\), biết rằng a, b, c cùng lớn hơn \(-\frac{1}{4}\) và \(a + b + c = 1\).
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
Câu a: \(5(x – 1) < x^5 – 1 < 5x^4(x – 1)\), nếu \(x – 1 > 0\)
Ta có: \(x^5 – 1 = (x – 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)\)
Lại có: \(x – 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ x^5 > x^4 > x^3 > x^2 > x > 1\)
\(⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 < x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 < x^4 + x^4 + x^4 + x^4 + x^4\)
hay \(5 < x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 < 5x^4\)
\(⇒ 5.(x – 1) < (x – 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) < 5x^4.(x – 1)\)
hay \(5.(x – 1) < x^5 – 1 < 5x^4.(x – 1)\) (đpcm)
Câu b: \(x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 ≥ 0\), biết rằng \(x + y ≥ 0\)
\(x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 = (x^5 – x^4y) – (xy^4 – y^5)\)
\(= x^4.(x – y) – y^4.(x – y)\)
\(= (x^4 – y^4).(x – y)\)
\(= (x^2 + y^2)(x^2 – y^2)(x – y)\)
\(= (x^2 + y^2).(x + y)(x – y)(x – y)\)
\(= (x^2 + y^2)(x + y)(x – y)^2\)
Mà \(x^2 + y^2 ≥ 0; x + y ≥ 0; (x – y^)2 ≥ 0\)
\(⇒ x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 ≥ 0.\)
Câu c: \(\sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} < 5\), biết rằng a, b, c cùng lớn hơn \(-\frac{1}{4}\) và \(a + b + c = 1\).
Ta có: \(a > \frac{-1}{4} ⇔ 4a > -1 ⇔ 4a + 1 > 0\)
Tương tự \(4b +1 > 0\) và \(4c + 1 > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt{4a + 1}\) và 1 ta có:
\(\sqrt{4a + 1} = \sqrt{4a + 1}.1 ≤ \frac{4a + 1 + 1}{2} = 2a + 1\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\sqrt{4b + 1} ≤ \frac{4b + 1 + 1}{2} = 2b + 1\)
\(\sqrt{4c + 1} ≤ \frac{4c + 1 + 1}{2} = 2c + 1\)
Do đó
\(\sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} ≤ 2a + 2b + 2x + 3 = 2 + 3 = 5\)
Dấu “=” xảy ra khi
\(\begin{cases}4a + 1 = 1\\4b + 1 = 1\\4c + 1 = 1\\a, b, c > \frac{-1}{4}\\a + b + c = 1\end{cases}
⇔ \begin{cases}a = b = c = 0\\a + b + c = 1\end{cases}\)
Không có giá trị nào của a, b, c thỏa mãn hệ trên nên dấu “=” của bất đẳng thức không xảy ra.
Vậy \(\sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} < 5\)
Câu a: \(5(x – 1) < x^5 – 1 < 5x^4(x – 1)\), nếu \(x – 1 > 0\)
Vì \(x > 1\) nên \(x^4 > x^3 > x^2 > x > 1\). Do đó, \(5x^4 > x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 > 5\)
Suy ra, \(5x^4(x – 1) > (x – 1)(x^4 + ^3 + x^2 + x + 1) = x -1\) (1)
Mặt khác \(x^5 – 1 = (x – 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) > 5(x – 1)\) (2)
(1) và (2) cho \(5(x – 1) < x^5 < – 1 < 5x^4(x – 1)\) (đpcm)
Câu b: \(x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 ≥ 0\), biết rằng \(x + y ≥ 0\)
\(x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 = (x + y)(x^4 – x^3y + x^2y^2 – xy^3 – y^4) – xy(x^3 + y^3)\)
= \((x + y)[(x^4 = 2x^2y^2 + y^4) – 2xy(x^2 + y^2)]\)
= \((x + y) (x – y)^2(x^2 + y^2) ≥ 0\) vì \(x + y ≥ 0\) (đpcm)
Câu c: \(\sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} < 5\), biết rằng a, b, c cùng lớn hơn \(-\frac{1}{4}\) và \(a + b + c = 1\).
Ta có: \((\sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4b + 1})^2\)
\(= (4a + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) + 2\sqrt {4a + 1}.\sqrt {4b + 1}\)
\(+2\sqrt{4b + 1}.\sqrt{4b + 1} + 2\sqrt{4c + 1}.\sqrt{4c + 1}\)
\(≤ 4(a + b + c) + 3 + [(4a + 1) + (4b + 1) + (4c + 1)].2\) (bất đẳng thức Côsi)
\(≤ 4 + 3 + 7 x 2 < 25\)
Vậy, \(\sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} < 5\) (đpcm)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10 Của Bài Tập Thuộc Ôn Tập Cuối Năm Môn Đại Số Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 2 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 3 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 4 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 5 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 6 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 7 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 8 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 1 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
Trả lời