Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Bài Tập 4 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số \(\)\(y = x^3 – mx^2 – 2x + 1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Bước 1: Tính y’
Bước 2: Vì: Hàm đa thức bậc ba có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Ta chỉ ra phương trình y’ = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Tập xác định: D = R
Ta có: \(y’ = 3x^2 – 2mx – 2\)
Xét phương trình: \(3x^2 – 2mx – 2 = 0\)
Có: \(Δ’ = m^2 + 6 > 0; ∀m\)
⇒ phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Hàm số bậc ba có dạng: \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d; (a ≠ 0)\) để có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình \(y’ = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1; x_2.\)
Khi đó y’ luôn đổi dấu khi đi qua 2 điểm \(x_1; x_2.\)
Ta có hàm số: \(y’ = 3ax^2 + 2bx + c\)
Xét phương trình sau: \(3ax^2 + 2bx + c = 0\)
Ta có biệt thức: \(Δ’_{y’} = b^2 – 3ac\)
Như vậy ở bài tập 4 trang 18 sgk này, ta chỉ cần chứng minh \(Δ’_{y’} = b^2 – 3ac > 0\) với mọi m.
Áp dụng phương pháp trên, ta có lời giài chi tiết bài 4 như sau:
Xét hàm số \(y = x^3 – mx^2 – 2x + 1\)
Ta có tập xác định D = R
\(y’ = 3x^2 – 2mx – 2, Δ’_{y’} = m^2 + 6 > 0, ∀m\) vì vậy phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt và y’ luôn đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Như vậy hàm số trên luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời