Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số. Từ đồ thị tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a. \(\)\(x^3 – 3x^2 + 5 = 0\)
b. \(-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\)
c. \(2x^2 – x^4 = -1\)
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(x^3 – 3x^2 + 5 = 0\)
Phương pháp giải:
– Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \(y = f(x)\) lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
– Số nghiệm của phương trình \(f(x) = a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với đường thẳng \(y = a\).
– Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Giải:
Xét hàm số: \(y = x^3 – 3x^2 + 5\)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = 3x^2 – 6x ⇒ y’ = 0 ⇔ 3x^2 – 6x = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x = 2\\ \end{gathered} \right.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞; 0)\) và \((2; +∞)\); hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0; y_{CĐ} = 5\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2; y_{CT} = 1\)
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = -∞, \lim_{x → +∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm \((0; 5)\)
Số nghiệm của phương trình \(x^3 – 3x^2 + 5 = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x^3 – 3x^2 + 5\) và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu b: \(-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\)
Phương pháp giải:
– Khảo sát sự biến thiên của các hàm số y = f(x) lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
– Số nghiệm của phương trình f(x) = a là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = a.
– Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Giải: \(-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\)
Ta có: Phương trình: \(2x^3 – 3x^2 = -2\)
Xét hàm số: \(y = 2x^3 – 3x^2\)
Tập xác định: D = R
Ta có: \(y’ = 6x^2 – 6x ⇒ y’ = 0 ⇔ 6x^2 – 6c = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x = 1\\ \end{gathered} \right.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞; 0)\) và \((1; +∞)\) nghịch biến trên khoảng \((0; 1)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0, y_{CĐ} = 0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1; y_{CT} = -1\)
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = -∞; \lim_{x → +∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \(-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x^3 – 3x^2\) và đường thẳng \(y = -2\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = -2\) cắt đồ thị hàm số \(y = 2x^3 – 3x^2\) tại một điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Cách khác:
Xét hàm số \(y = f(x) = -2x^3 + 3x^2 – 2\)
– TXĐ: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
\(y’ = -6x^2 + 6x = -6x(x – 1)\)
\(y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 1\)
+ Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}f(x) = +∞; \lim_{x → +∞}f(x) = -∞\)
+ Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
⇒ phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình \(-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\) chỉ có một nghiệm.
Câu c: \(2x^2 – x^4 = -1\)
Phương pháp giải:
– Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \(y = f(x)\) lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
– Số nghiệm của phương trình \(f(x) = a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với đường thẳng \(y = a\).
– Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Giải: \(2x^2 – x^4 = -1\)
Xét hàm số: \(y = 2x^2 – x^4\)
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên: \(y’ = 4x – 4x^3 ⇒ y’ = 0 ⇔ 4x – 4x^3 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x = ±1\\ \end{gathered} \right.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((0; 1)\); hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1; 0)\) và \((1; +∞)\).
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x = -1\) và \(x = 1; y_{CĐ} = 1\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0; y_{CT} = 0\)
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = -∞, \lim_{x → +∞}y = -∞\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \(2x^2 – x^4 = -1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x^2 – x^4\) và đường thẳng \(y = -1\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = -1\) cắt đồ thị hàm số \(y = 2x^2 – x^4\) tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Câu a: \(x^3 – 3x^2 + 5 = 0\)
Xét hàm số \(y = x^3 – 3x^2 + 5\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn của hàm số: \(\lim_{x → -∞}y = -∞; \lim_{x → +∞}y = +∞\)
Sự biến thiên của hàm số:
Đạo hàm: \(y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2); y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 2.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng \((-∞; 0)\) và \((2; +∞)\); và nghịch biến trên khoảng \((0; 2)\).
Cực trị của hàm số là:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(0) = 5\);
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(2) = 1\).
Đồ thị:
- Tính đối xứng: y” = 6x – 6; y” = 0 ⇔ x = 1. Do đó đồ thị hàm số nhận tại điểm (1; 3) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị của hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 5).
- Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (-1; 1); (3; 5).
Đồ thị của hàm số:
⇒ Vậy từ đó suy ra nghiệm của phương trình \(x^3 – 3x^2 + 5 = 0\) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Câu b: \(-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\)
Xét hàm số \(y = -2x^3 + 3x^2 – 2\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn của hàm số: \(\lim_{x → -∞}y = +∞; \lim_{x → +∞}y = -∞\)
Sự biến thiên của hàm số:
Đạo hàm như sau: \(y’ = -6x^2 + 6x = -6x(x – 1); y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 1.\)
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); và nghịch biến trên hai khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Cực trị của hàm số như sau:
- Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(1) = -1\)
- Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(0) = -2.\)
Đồ thị của hàm số:
- Tính đối xứng: \(y” = -12x + 6; y” = 0 ⇔ x = \frac{1}{2}.\) Vậy tọa độ có tâm đối xứng là \((-∞; 0)\) và \((1; +∞)\).
- Đồ thị của hàm số đi qua các điểm: (-1; 3); (2; -6).
Đồ thị của hàm số:
=> Vậy từ đó suy ra nghiệm của phương trình \(x^3 – 3x^2 + 5 = 0\) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Câu c: \(2x^2 – x^4 = -1\)
Xét hàm số \(y = 2x^2 – x^4\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn của hàm số: \(\lim_{x → -∞}y = -∞; \lim_{x → +∞}y = -∞\)
Sự biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm: \(y’ = 4x – 4x^3 = 4x(1 – x^2); y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±1.\)
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng \((–∞; -1)\) và \((0; 1)\); và cũng nghịch biến trên hai khoảng \((-1; 0)\) và \((1; +∞)\)
Cực trị của hàm số là:
- Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1, giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(-1) = y(1) = 1\);
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(0) = 0.\)
Đồ thị của hàm số:
- Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
- Vậy đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0; 0); \((-\sqrt{2}; 0)\) và \((\sqrt{2}; 0)\); cắt truc Oy tại điểm (0; 0).
Đồ thị của hàm số:
Như vậy đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình trên.
Từ đồ thị trên ta thấy phương trình \(y = f(x) = 2x^2 – 2x^4\) có hai nghiệm phân biệt.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời