Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài Tập Ôn Tập Chương II
Bài Tập 4 Trang 78 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz và Dt tại A’, B’, C’ và D’.
a. Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt).
b. Gọi I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’. Chứng minh IJ song song với AA’.
c. Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Hãy tính DD’.
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 78 SGK Hình Học Lớp 11
Câu b: Dựa vào định lí: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau để chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành, từ đó suy ra J là trung điểm của A’C’.
Dựa vào tính chất đường trung bình của hình thang suy ra IJ // AA’.
Câu a: Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt).
Ax // Dt (giả thiết) ⇒ Ax // (Cz, Dt) (1)
AB // CD (vì ABCD là hình bình hành)
Mà CD ⊂ (Cz, Dt) ⇒ AB // (Cz, Dt) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (Ax, AB) // (Cz, Dt) hay (Ax, By) // (Cz, Dt)
Câu b: Gọi I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’. Chứng minh IJ song song với AA’.
Ta có (Ax, By) // (Cz, Dt)
Mặt phẳng (A’B’C’D’) lần lượt cắt hai mặt phẳng (Ax, By) và (Cz, Dt) theo giao tuyến A’B’ và C’D’ ⇒ A’B’ // C’D’.
Tương tự ta chứng minh được: A’D’ // B’C’
Do đó A’B’C’D’ là hình bình hành.
J = A’C’ ∩ B’D’ nên J là trung điểm của A’C’.
A’C’CA là hình thang vì AA’ // CC’. Mà I là trung điểm AC nên IJ là đường trung bình hình thang A’C’CA.
Vậy IJ // AA’.
Câu c: Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Hãy tính DD’.
Chứng minh tương tự ta có IJ là đường trung bình của hình thang BDD’B’.
Theo tính chất của đường trung bình hình thang ta có:
\(\)\(\begin{cases}IJ = \frac{1}{2}(AA’ + CC’)\\IJ = \frac{1}{2}(BB’ + DD’)\end{cases} ⇒ \begin{cases}AA’ + CC’ = 2IJ\\BB’ + DD’ = 2IJ\end{cases}\)Do đó: AA’ + CC’ = BB’ + DD’ ⇒ DD’ = AA’ + CC’ – BB’
⇒ DD’ = a + c – b.
Câu a: Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt).
Do ABCD là hình bình hành, nên AB // DC
⇒ AB // (Cz, Dt) (1)
Theo giả thiết Ax // Dt nên Ax // (Cz, Dt) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (Ax, By) // (Cz, Dt)
Câu b: Gọi I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’. Chứng minh IJ song song với AA’.
Mặt phẳng β cắt 2 mặt phẳng song song ( Ax, By), (Cz, Dt) theo hai giao tuyến là A’B’ và C’D’ nên A’B’ // C’D’. (3)
Chứng minh tương tự (Ax, Dt) song song với (By, Cz).Và mặt phẳng β cắt 2 mặt phẳng song song (Ax, Dt), (By, Cz) theo hai giao tuyến là A’D’và B’C’ nên A’D’ // B’C’ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
⇒ J là trung điểm của A’C’ (tính chất hình bình hành).
Tứ giác AA’C’C là hình thang vì có: AA’ // CC’ (giả thiết). Lại có, I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’ nên IJ là đường trung bình của hình thang
⇒ IJ // AA’ // CC’ ( đpcm).
Câu c: Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Hãy tính DD’.
Vì IJ là đường trung bình của hình thang ACC’A’ nên \(IJ = \frac{1}{2}(AA’ + CC’)\)
IJ cũng là đường trung bình của hình thang BDD’B’: \(IJ = \frac{1}{2}(BB’ + DD’)\)
Từ đây suy ra: DD’ + BB’ = AA’ + CC’
⇒ DD’ = AA’ + CC’ – BB’ = a + c – b
Câu a: Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt).
Ta có Ax // Dt và AB // CD suy ra được (Ax, By) // (Cz, Dt)
Câu b: Gọi I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’. Chứng minh IJ song song với AA’.
IJ là đường trung bình của hình thang BB’D’D nên IJ // BB’ suy ra được IJ // AA’
Câu c: Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Hãy tính DD’.
Theo tính chất đường trung bình hình thang ta có:
AA’ + CC’ = 2IJ và BB’ + DD’ = 2IJ
Do đó AA’ + CC’ = BB’ + DD’
⇒ DD’ = AA’ + CC’ = BB’ = a + c – b
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 78 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài Tập Ôn Tập Chương II Thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời