Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Bài Tập 4 Trang 83 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho tổng \(\)\(S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2.3} +…+ \frac{1}{n(n + 1)}\) với \(n ∈ ℕ^*\).
a. Tính \(S_1, S_2, S_3\).
b. Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 83 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: Tính \(S_1, S_2, S_3\).
Phương pháp giải: Tính các giá trị \(S_1; S_2; S_3\) bằng cách thay lần lượt \(n = 1; n = 2; n = 3\).
Giải:
Ta có: \(S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{2}\)
\(S_2 = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{2}{3}\)
\(S_3 = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} = \frac{3}{4}\)
Câu b: Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Phương pháp giải:
Dựa vào các giá trị \(S_1; S_2; S_3\) tính được ở trên, dự đoán tổng \(S_n\).
Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giải:
Từ câu a ta dự đoán \(S_n = \frac{n}{n + 1}\) (1), với mọi \(n ∈ ℕ^*\).
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp.
Khi \(n = 1\), vế trái là \(S_1 = \frac{1}{2}\) vế phải bằng \(\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}\).
Vậy đẳng thức (1) đúng.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n ≥ 1\), tức là
\(S_k = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + … + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}\)
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh: \(S_{k + 1} = \frac{k + 1}{k + 2}\)
Ta có:
\(S_{k + 1} = S_k + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}\)
\(= \frac{k(k + 2) + 1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}\)
\(= \frac{(k + 1)^2}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}\)
tức là đẳng thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy là đẳng thức (1) đã được chứng minh.
Chú ý: Một cách dự đoán khác các em có thể tham khảo thêm như sau:
\(S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} – \frac{1}{2} = 1 – \frac{1}{2}\)
\(S_2 = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = (\frac{1}{1} – \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) = 1 – \frac{1}{3}\)
\(S_3 = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} = (\frac{1}{1} – \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{4}) = 1 – \frac{1}{4}\)
Dự đoán: \(S_n = 1 – \frac{1}{n + 1} (1)\)
Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp
– Với \(n = 1\) thì (1) đúng
– Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là
\(S_k = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + … + \frac{1}{k(k + 1)} = 1 – \frac{1}{k + 1}\)
Khi đó,
\(S_{k + 1} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + … + \frac{1}{k.(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}\)
\(= 1 – \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}\)
\(= 1 – \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 1} – \frac{1}{k + 2}\)
\(= 1 – \frac{1}{k + 2}\)
\(= 1 – \frac{1}{(k + 1) + 1}\)
⇒ (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó đúng \(∀n ∈ ℕ^*\).
Câu a: Tính \(S_1, S_2, S_3\).
Ta có: \(S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{2}\)
\(S_2 = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{2}{3}\)
\(S_3 = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} = \frac{3}{4}\)
Câu b: Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Từ câu a) ta có thể dự đoán \(S_n = \frac{n}{n + 1} (1)\), với mọi \(n ∈ ℕ^*\).
Ta cần phải chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Theo như câu a) ta thấy (1) đúng khi \(n = 1, n = 2, n = 3\).
Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +…+ \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1} (2)\)
Ta cần phải chứng minh (1) đúng đến khi \(n = k + 1\), tức là
\(S_{k + 1} = \frac{k + 1}{k + 2} (3)\)
Thật vậy ta có như sau:
\(S_{k + 1} = [\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +…+ \frac{1}{k.(k + 1)}] + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}\)
\(= S_k + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}\)
\(= \frac{k + 1}{k + 2}\)
⇒ (3) đúng ⇒ (đpcm)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 83 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời