Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Bài Tập 4 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’, C’A. Chứng minh rằng:
a. AB ⊥ CC’.
b. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Câu a: AB ⊥ CC’.
\(\vec{AB}.\vec{CC’} = \vec{AB}.(\vec{AC’} – \vec{AC})\)
\(= \vec{AB}.\vec{AC’} – \vec{AB}.\vec{AC}\)
\(= AB.AC’.cos\widehat{BAC’} – AB.AC.cos\widehat{BAC}\)
\(= a.a.\frac{1}{2} – a.a.\frac{1}{2} = 0\)
\(⇒ AB ⊥ CC’\)
Câu b: Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Theo giả thiết Q, P là trung điểm của AC’, BC’ do đó QP là đường trung bình của tam giác ABC’.
Suy ra: \(QP // AB, QP = \frac{1}{2}AB\) (1)
Chứng minh tương tự ta có:
\(PN // CC’, PN = \frac{1}{2}CC’\)
\(MN // AB, MN = \frac{1}{2}AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN // QP, MN = QP. Do đó MNPQ là hình bình hành.
Ta có: MN // AB, PN // CC’ mà AB ⊥ CC’ do đó MN ⊥ NP
Hình bình hành MNPQ có một góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật
Câu a: AB ⊥ CC’.
Ta có: \(\)\(\vec{AB}.\vec{CC’} = \vec{AB}.(\vec{AC’} – \vec{AC})\)
\(= \vec{AB}.\vec{AC’} – \vec{AB}.\vec{AC}\)
\(= |\vec{AB}|.|\vec{AC’}|.cos(\vec{AB}.\vec{AC’}) – |\vec{AB}|.|\vec{AC}|.cos(\vec{AB}.\vec{AC})\)
\(= AB.AC’.cos60^0 – AB.AC.cos60^0\)
Vì các tam giác ABC và ABC’ là tam giác đều nên ta có AB = AC = AC’
\(⇒ \vec{AB}.\vec{CC’} = 0 ⇒ AB ⊥ CC’\)
Câu b: Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // AB và \(MN = \frac{1}{2}AB\)
Tương tự ta có PQ // AB và \(PQ = \frac{1}{2}AB\)
⇒ MN // PQ và MN = PQ ⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành. Mặt khác ta có PN cũng là đường trung bình của tam giác BCC’ ⇒ PN // CC’.
Theo chứng minh ở câu a) ta có \(AB ⊥ CC’ ⇒ MN ⊥ NP\)
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (đpcm).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời