Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Bài Tập 5 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. \(\)\(\tan x > x (0 < x < \frac{π}{2})\)
b. \(\tan x > x + \frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{π}{2})\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(\tan x > x (0 < x < \frac{π}{2})\)
Phương pháp giải:
– Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số y(x) với 0.
– Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số y(x) và khảo sát hàm số y(x) trên các khoảng đề bài đã cho.
– Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Giải: \(\tan x > x (0 < x < \frac{π}{2})\)
Xét hàm số: \(y = f(x) = \tan x – x\) với \(x ∈ (0; \frac{π}{2})\)
Ta có: \(y’ = \frac{1}{cos^2x} – 1 = \frac{1 – cos^2x}{cos^2x}\)
\(= \frac{sin^2x}{cos^2x} = tan^2x > 0, ∀x ∈ (0; \frac{π}{2})\)
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \((0; \frac{π}{2})\)
\(⇒ ∀x ∈ (0; \frac{π}{2})\) ta có \(f(x) > f(0)\)
\(⇔ \tan x – x > \tan 0 – 0\)
\(⇔ \tan x – x > 0\)
\(⇔ \tan x > x (đpcm)\)
Câu b: \(\tan x > x + \frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{π}{2})\)
Phương pháp giải:
– Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số y(x) với 0.
– Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số y(x) và khảo sát hàm số y(x) trên các khoảng đề bài đã cho.
– Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Giải: \(\tan x > x + \frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{π}{2})\)
Xét hàm số: \(y = g(x) = \tan x – x – \frac{x^3}{3}\) với \(x ∈ (0; \frac{π}{2})\)
Ta có: \(y’ = \frac{1}{cos^2x} – 1 – x^2 = 1 + tan^2x – 1 – x^2\)
\(= tan^2x – x^2 = (\tan x – x)(\tan x + x)\)
Với \(∀x ∈ (0; \frac{π}{2}) ⇒ \tan x > 0\) nên ta có: \(\tan x + x > 0\) và \(\tan x – x > 0\) (theo câu a) \(⇒ y’ > 0, ∀x ∈ (0; \frac{π}{2})\)
Vậy hàm số \(y = g(x)\) đồng biến trên \((0; \frac{π}{2}) ⇒ g(x) > g(0).\)
\(⇔ \tan x – x – \frac{x^3}{3} > \tan 0 – 0 – 0.\)
\(⇔ \tan x – x – \frac{x^3}{3} > 0\)
\(⇔ \tan x > x + \frac{x^3}{3} (đpcm)\)
Đối với dạng bài tập ở bài 5 yêu cầu chứng minh \(g(x) > h(x)\) với x thuộc một miền cho trước ta thường tiến hành như sau:
Bước 1: \(g(x) > h(x) ⇔ g(x) – h(x) > 0.\)
Bước 2: Sau đó đặt \(f(x) = h(x) – g(x)\), tiếp theo khảo sát tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Bước 3: Sau đó tìm x để \(f(x) = 0\) (thường là hai đầu mút của miền đang xét).
Bước 4: Từ kết quả tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) đưa ra kết luận cho bài toán.
Câu a: \(\tan x > x (0 < x < \frac{π}{2})\)
Để chứng minh \(\tan x > x\) với mọi \(0 < x < \frac{π}{2}\) ta chứng minh như sau:
\(\tan x – x > 0\) với mọi \(0 < x < \frac{π}{2}\).
Trước hết ta cần kiểm tra xem có tồn tại bất kỳ giá trị nào của x đề \(\tan x – x = 0\) hay không nhé, mà trước tiên ta cần thử với hai giá trị là \(x = 0\) và \(x = \frac{π}{2}\) nhé
Lúc này ta thấy: \(tan(0) – 0 = 0.\)
Khi đó ta bắt đầu tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, lời giải cụ thể chi tiết như sau:
Ta xét hàm số \(f(x) = \tan x – x\) liên tục trên nửa khoảng \([0; \frac{π}{2})\)
\(f'(x) = \frac{1}{cos^2x} – 1 > 0\) với mọi \(x ∈ (0; \frac{π}{2})\)
\(f'(x) = 0 ⇔ x = 0\)
Như vậy ta có hàm số đồng biến trên \([0; \frac{π}{2})\).
Vậy với \(0 < x < \frac{π}{2}\) ta có: \(f(x) > f(0) = 0 ⇒ \tan x > 0\) với mọi \(x ∈ (0; \frac{π}{2})\).
Câu b: \(\tan x > x + \frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{π}{2})\)
Chứng minh \(\tan x > x + \frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{π}{2})\)
Tương tự như câu a ta làm như sau:
Xét hàm số \(g(x) = \tan x – x – \frac{x^3}{3}\) liên tục trên \([0; \frac{π}{2})\)
Tính đạo hàm: \(g'(x) = \frac{1}{cos^2x} – 1 – x^2 = tan^2x – x^2\)
\(= (\tan x – x)(\tan x + x) > 0, ∀x ∈ (0; \frac{π}{2})\) (theo câu a)
\(g'(x) = 0 ⇔ x = 0.\)
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời