Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác – Đại Số Lớp 10
Bài 3: Công Thức Lượng Giác
Bài Tập 5 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Tính \(\)\(sin2a, cos2a, tan2a\), biết
a. \(sina = -0,6\) và \(π < a < \frac{3π}{2}\)
b. \(cos = -\frac{5}{13}\) và \(\frac{π}{2} < a < π\)
c. \(sina + cosa = \frac{1}{2}\) và \(\frac{3π}{4} < a < π\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Câu a: \(sina = -0,6\) và \(π < a < \frac{3π}{2}\)
Phương pháp giải:
– Với \(π < a < \frac{3π}{2}\) ta có \(sina < 0, cosa < 0\)
– Với \(\frac{π}{2} < a < π\) ta có \(sina > 0, cosa < 0\)
– \(sin^2α + cos^2α = 1\)
– \(sin^2a = 2sina.cosa\)
– \(cos2a = cos^2a – sin^2a = 2cos^2a – 1 = 1 – 2sin^2a\)
Giải:
\(sin^2a + cos^2a = 1\)
\(⇒ cos^2a = 1 – sin^2a\)
\(= 1 – (-0,6)^2 = 0,64\)
Mà \(π < a < \frac{3π}{2} ⇒ cosa < 0 ⇒ cosa = -\sqrt{0,64} = -0,8\)
\(⇒ sin2a = 2sinacosa = 2.(-0,6).(-0,8) = \frac{24}{25}\)
\(cos2a = cos^2a – sin^2a = (-0,8)^2 – (-0,6)^2 = \frac{7}{25}\)
\(⇒ tan2a = \frac{sin2a}{cos2a} = \frac{24}{25} : \frac{7}{25} = \frac{24}{7}\)
Câu b: \(cos = -\frac{5}{13}\) và \(\frac{π}{2} < a < π\)
\(sin^2a + cos^2a = 1\)
\(⇒ sin^2a = 1 – cos^2a\)
\(= 1 – (-\frac{5}{13})62 = \frac{144}{169}\)
Mà \(\frac{π}{2} < a < π ⇒ sina > 0 ⇒ sina = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\)
\(⇒ sin2a = 2sinacosa = 2.\frac{12}{13}.(-\frac{5}{13}) = -\frac{120}{169}\)
\(cos2a = 2cos^2a – 1 = 2.(-\frac{5}{13})^2 – 1 = -\frac{119}{169}\)
\(tan2a = \frac{sin2a}{cos2a} = (-\frac{120}{169}) : (-\frac{119}{169}) = \frac{120}{119}\)
Câu c: \(sina + cosa = \frac{1}{2}\) và \(\frac{3π}{4} < a < π.\)
\((sina + cosa)^2\)
\(= sin^2a + cos^2 + 2sinacosa\)
\(= 1 + sin2a\)
\(⇒ sin2a = (sina + cosa)^2 – 1\)
\(= (\frac{1}{2})^2 – 1 = -\frac{3}{4}\)
\(⇒ sin2a = -\frac{3}{4}\)
Mà
\(sin^22a + cos^22a = 1\)
\(⇒ cos^22a = 1 – sin^22a\)
\(= 1 – (-\frac{3}{4})^2 = \frac{7}{16}\)
Lại có \(\frac{π}{2} < a < \frac{3π}{4} ⇒ π < 2a < \frac{3π}{2} ⇒ cos2a < 0\)
\(⇒ cos2a = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}\)
\(⇒ tan2a = \frac{sin2a}{cos2a} = (-\frac{3}{4}) : (-\frac{\sqrt{7}}{4}) = \frac{3}{\sqrt{7}}\)
Áp dụng công thức:
– Với \(π < a < \frac{{3π}}{2}\) ta có \(\sin a < 0, \cos a < 0.\)
– Với \(\frac{{π }}{2} < a < π\) ta có \(\sin a > 0, \cos a < 0.\)
– \(\sin^2α +\cos^2 α =1. \)
– \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a.\)
– \(\cos 2a = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a – 1 \)\(= 1 – 2{\sin ^2}a.\)
Câu a: \(sina = -0,6\) và \(π < a < \frac{3π}{2}\)
* \(sin2a = 2sina.cosa\) (1) (công thức)
Mà \(π < a < \frac{3π}{2} ⇒ cosa < 0\)
và \(sina = -0,6 ⇒ cosa = -\frac{4}{5}\)
(1) \(⇔ sin2a = 2.(-0,6).(-\frac{4}{5}) ⇔ sin2a = \frac{24}{25}\)
* \(cos2a = 1 – 2sin^2a = 1 – 2(-\frac{3}{5})^2 = 1 – \frac{18}{25}\)
\(cos2a = \frac{7}{25}\)
* \(tan2a = \frac{sin2a}{cos2a} = \frac{24}{25}.\frac{25}{7} = \frac{24}{7}\)
Câu b: \(cos = -\frac{5}{13}\) và \(\frac{π}{2} < a < π\)
Vì \(\frac{π}{2} < a < π\) nên sin \(a > 0; tg a < 0\)
và \(cos a = -\frac{5}{13}\) nên \(sina = \frac{12}{13}\)
\(cos2a = 2.cos^2 – 1 = 2.\frac{25}{169} – 1 = -\frac{119}{169}\)
\(tan2a = \frac{sin2a}{cos2a} = (\frac{-120}{169}).(\frac{-169}{119}) = \frac{120}{119}\)
Câu c: \(sina + cosa = \frac{1}{2}\) và \(\frac{3π}{4} < a < π.\)
\(sina + cosa = {1 \over 2}\) và \({{3π } \over 4} < a < π\)
Vì \({{3π } \over 4} < a < π \) nên \(\sin a < 0; \cos a < 0\)
\(\left. \matrix{{\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1 \hfill \cr \sin a + \cos a = {1 \over 2} \hfill \cr} \right\} \)\(\Rightarrow \left\{ \matrix{\cos a = {{1 – \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr \sin a = {{1 + \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Suy ra : \(\sin 2a = 2.{{1 + \sqrt 7 } \over 4}.{{1 – \sqrt 7 } \over 4} = {{ – 3} \over 4}\)
\(tan2a = -\frac{3\sqrt 7}{7}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10 Của Bài 3: Công Thức Lượng Giác Thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Môn Đại Số Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Trả lời