Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Bài Tập 5 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(\)\(y = \frac{5}{3}a^2x^3 + 2ax^2 – 9x + b\) đều là những số dương và \(x_0 = -\frac{5}{9}\) là điểm cực đại.
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
– Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x_0 ⇔ \begin{cases}y'(x_0) = 0\\y”(x_0) < 0\end{cases}\), từ đó tìm a.
– Thay a vừa tìm được ở trên vào hàm số.
– Tìm b dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \(⇔ y_{ct} > 0\).
Ta có: \(y’ = 5a^2x^2 + 4ax – 9, y” = 10a^2x + 4a\)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x_0 = -\frac{5}{9} ⇔ \begin{cases}y'(-\frac{5}{9}) = 0\\y”(-\frac{5}{9}) < 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}5a^2.(-\frac{5}{9})^2 + 4a.(-\frac{5}{9}) – 9 = 0\\10a^2.(-\frac{5}{9}) + 4a < 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}\frac{125a^2}{81} – \frac{20a}{9} – 9 = 0\\-\frac{50a^2}{9} + 4a < 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}a = \frac{81}{25}, a = -\frac{9}{5}\\a < 0 \, \,hoặc \, \,a > \frac{18}{25}\end{cases} ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} a = \frac{81}{25}\\ a = -\frac{9}{5} \end{matrix}\)
Ta có: \(y’ = 5a^2x^2 + 4ax – 9\) có \(Δ’ = 49a^2 > 0\) với a ≠ 0 nên phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \frac{1}{a}, x_2 = -\frac{9}{5a}\).
Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \(⇔ y_{ct} > 0\).
Với \(a = \frac{81}{25}\) thì \(x_1 = \frac{25}{81}, x_2 = -\frac{5}{9}\)
Do đó \(y_{ct} = y(\frac{25}{81}) = \frac{5}{3}.(\frac{81}{25})^2.(\frac{25}{81})^3 + 2.\frac{81}{25}.(\frac{25}{81})^2 – 9.\frac{25}{81} + b > 0\)
\(⇔ b > \frac{400}{243}\)
Với \(a = -\frac{9}{5}\) thì \(x_1 = -\frac{5}{9}, x_2 = 1\)
Do đó \(y_{ct} = y(1) = \frac{5}{3}.(-\frac{9}{5})^2.1^3 + 2.(-\frac{9}{5}).1^2 – 9.1 + b > 0\)
\(⇔ b > \frac{36}{5}\)
Vậy các giá trị a, b cần tìm là: \(\begin{cases}a = -\frac{9}{5}\\b > \frac{36}{5}\end{cases} hoặc \begin{cases}a = \frac{81}{25}\\b > \frac{400}{243}\end{cases}\)
Từ dữ liệu cho ở đầu bài, ta giải bài tập 5 trang 18 sgk như sau
– Với a = 0 vậy hàm số trở thành y = -9x + b nên không có cực trị.
– Với \(a ≠ 0\) ta có: \(y’ = 5a^2x^2 + 4ax – 9\)
\(y’ = 0 ⇔ 5a^2x^2 + 4ax – 9 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -\frac{9}{5a}\\ x = \frac{1}{a} \end{matrix}\)
+ Với a < 0 ta có bảng biến thiên:
Theo giả thiết \(x_0 = \frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a} = -\frac{5}{9} ⇔ a = -\frac{9}{5}.\)
Vì giá trị cực tiểu là số dương nên:
\(y_{ct} = y(-\frac{9}{5a}) = y(1) > 0\)
\(⇔ \frac{5}{3}.(-\frac{9}{5})^2 + 2.(-\frac{9}{5}) – 9 + b > 0\)
\(⇔ b > \frac{36}{5}\)
+ Với a < 0 ta có bảng biến thiên như sau:
Vì \(x_0 = -\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(-\frac{9}{5a} = -\frac{5}{9} ⇔ a = \frac{81}{25}\)
Theo yêu cầu bài toán thì cực tiểu là số dương nên:
\(y_{(ct)} = y(\frac{1}{a}) = y(\frac{25}{81}) > 0\)
\(⇔ \frac{5}{3}.(\frac{81}{25})^2(\frac{25}{81})^3 + 2.\frac{81}{25}.(\frac{25}{81})^2 – 9.\frac{25}{81} + b > 0\)
\(⇔ b > \frac{400}{243}\)
Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là:
\(\begin{cases}a = -\frac{9}{5}\\b > \frac{36}{5}\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a = \frac{81}{25}\\b > \frac{400}{243}\end{cases}\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời