Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 5 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác đều \(\)\(ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho
a. \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)
b. \(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\)
c. \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)
Cách 1:
Kéo dài OC cắt đường tròn tại điểm M.
MC là đường kính nên \(\widehat{MBC} = 90^0 ⇒ MB ⊥ BC\).
Mà tam giác ABC đều nên \(AO ⊥ BC\)
Do đó \(MB // OA\) (1)
Lại có \(\widehat{MAC} = 90^0 ⇒ MA ⊥ AC\).
Mà tam giác ABC đều nên \(BO ⊥ AC\).
Do đó \(MA // BO\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OAMB\) là hình bình hành, suy ra:
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OM}\)
Vậy M là điểm cần tìm.
Cách 2:
O là tâm tam giác ABC nên cũng là trọng tâm tam giác.
Ta có:
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}\)
\(⇔ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC}\)
Mà \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)
Nên \(\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OC}\)
\(⇒ \overrightarrow{OM}\) là vectơ đối của \(\overrightarrow{OC}\) hay O là trung điểm của CM.
Mà OC là bán kính nên \(CM = 2CO\) là đường kính của đường tròn.
Vậy M là giao điểm của CO với đường tròn.
Cách 3:
\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ⇔ M\) là đỉnh còn lại của hình bình hành \(AOBM\).
+ \(AOBM\) là hình bình hành \(⇒ AM = OB\)
Mà \(OB = OA\) (bằng bán kính đường tròn) \(⇒ AM = AO ⇒ ΔAMO\) cân tại A (1)
+ \(AOBM\) là hình bình hành \(⇒ AM // BO\)
\(⇒ \widehat{MAO} + \widehat{AOB} = 180^0\)
\(⇔ \widehat{MAO} + 120^0 = 180^0\)
\(⇒ \widehat{MAO} = 60^0\) (2)
Từ (1) và (2) \(⇒ ΔAMO\) đều \(⇒ OM = OA ⇒ M\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(ΔABC\).
Mà \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) nên M là điểm chính giữa cung AB.
Câu b: \(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\)
Nối OA và kéo dài cắt đường tròn tại điểm N
Tương tự như trên ta có:
\(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\)
Cách khác:
\(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ⇔ N\) là đỉnh còn lại của hình bình hành \(BOCN\).
+ \(BOCN\) là hình bình hành \(⇒ OB = CN\)
Mà \(OB = OC\) (bằng bán kính đường tròn) \(⇒ CN = CO ⇒ ΔCNO\) cân tại C (1)
+ \(BOCN\) là hình bình hành \(⇒ CN // BO\)
\(⇒ \widehat{NCO} + \widehat{BOC} = 180^0\)
\(⇔ \widehat{NCO} + 120^0 = 180^0\)
\(⇒ \widehat{NCO} = 60^0\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔCNO đều \(⇒ ON = OC ⇒ N\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mà \(\widehat{BON} = \widehat{CON}\) nên N là điểm chính giữa cung BC.
Câu c: \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}\)
Nối OB vào kéo dài cắt đường tròn tại điểm P
Tương tự như trên ta có:
\(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}\)
Cách khác
\(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} ⇔ P\) là đỉnh còn lại của hình bình hành AOCP.
+ \(AOCP\) là hình bình hành \(⇒ OA = PC\)
Mà OA = OC (bằng bán kính đường tròn) \(⇒ OC = PC ⇒ ΔCPO\) cân tại C (1)
+ \(AOCP\) là hình bình hành \(⇒ AO // CP\)
\(⇒ \widehat{PCO} + \widehat{COA} = 180^0\)
\(⇔ \widehat{PCO} + 120^0 = 180^0\)
\(⇒ \widehat{PCO} = 60^0\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔCPO đều \(⇒ OP = OC ⇒ P\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(ΔABC\).
Mà \(\widehat{AOP} = \widehat{COP}\) nên P là điểm chính giữa cung AC.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Vectơ Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 13 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 1 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 13 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 14 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 15 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 16 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 17 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 18 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 19 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 20 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 21 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 22 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 23 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 24 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 25 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 26 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 27 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 28 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 29 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 30 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời