Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(\)\(y = -x^3 + 3x + 1\).
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: \(x^3 – 3x + m = 0\).
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = -x^3 + 3x + 1\).
Xét hàm số \(y = -x^3 + 3x + 1\)
Tập xác định: R
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ x^2 – 1 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 1 \\ x = -1\\ \end{gathered} \right.\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((1; +∞)\).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1; y_{CĐ} = 3\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1; y_{CT} = -1\)
– Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞} = +∞\)
\(\lim_{x → +∞} = -∞\)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao Oy tại điểm I(0; 1) và nhận I làm tâm đối xứng.
Câu b: Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: \(x^3 – 3x + m = 0\).
Phương pháp giải:
– Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
– Dựa vào đồ thị hàm số câu a để biện luận số nghiệm của phương trình.
+ Số nghiệm của phương trình \(f(x) = a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với đường thẳng y = a\).
+ Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Giải:
\(x^3 – 3x + m = 0 ⇔ -x^3 + 3x + 1 = m + 1\) (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d): \(y = m +1\).
Từ đồ thị ta thấy:
Khi \(m + 1 < -1 ⇔ x < -2:\) (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
Khi \(m + 1 = -1 ⇔ m = -2:\) (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
Khi \(-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2:\) (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
Khi \(m + 1 = 3 ⇔ m = 2:\) (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
Khi \(m + 1 > 3 ⇔ m > 2:\) (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
Kết luận:
– Với \(m < -2\) hoặc \(m > 2\) thì phương trình có 1 nghiệm.
– Với \(m = -2\) hoặc \(m = 2\) thì phương trình có 2 nghiệm.
– Với \(-2 < m < 2\) thì phương trình có 3 nghiệm.
Ở bài tập này với câu a các bạn cũng làm tương tự như bài 1, khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số cho nên sẽ không nhắc thêm ở đây.
Tuy nhiên, điểm khác biệt ở đây là cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Sau đó dựa vào đồ thị (C) ta biện luận nghiệm của phương trình g(x; m) = 0 với m là tham số.
Với bài tập 5 này ta chuyển bài toán về dạng như sau:
- f(x) = h (m), trong đó h(m) là một hàm phụ thuộc vào tham số m.
- Sau đó vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, ta dựa vào giao điểm của đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) từ đó suy ra nghiệm của phương trình g(x; m) = 0.
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = -x^3 + 3x + 1\).
Với m = 1 ta có hàm số: \(y = -x^3 + 3x + 1\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn của hàm số: \(\lim_{x → -∞}y = +∞; \lim_{x → +∞}y = -∞\)
Sự biến thiên của hàm số:
Đạo hàm như sau: \(y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1); y’ = 0 ⇔ x = -1, x = 1.\)
Bảng biến thiên của hàm số:
Như vậy hàm số đồng biến khoảng (-1; 1), và nghịch biến trên hai khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).)
Cực trị của hàm số:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực cực đại \(y_{cđ} = y(1) = 3\);
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(-1) = -1\).
Đồ thị của hàm số:
- Tính đối xứng: \(y” = -6x, y” = 0 ⇔ x = 0\). Vậy tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là (0; 1).
- Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (-2; 3); (2; -1).
Đồ thị của hàm số:
Câu b: Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: \(x^3 – 3x + m = 0\).
Xét phương trình \(x^3 – 3x + m = 0 ⇔ -x^3 + 3x + 1 = m + 1 (1).\)
Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): \(y = m + 1\).
Từ đồ thị ta thấy ta có các biện luận sau:
Khi: \(m + 1 > -1 ⇔ m < -2:\) (d) cắt (C) tại 1 điểm ⇒ phương trình (1) có 1 nghiệm.
Khi: \(m + 1 = -1 ⇔ m = -2:\) (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm ⇒ phương trình (1) có 2 nghiệm.
Khi: \(-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2:\) (d) cắt (C) tại 3 điểm ⇒ phương trình (1) có 3 nghiệm.
Khi: \(m + 1 = 3 ⇔ m = 2:\) (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm ⇒ phương trình (1) có 2 nghiệm.
Khi: \(m + 1 > 3 ⇔ m > 2:\) (d) cắt (C) tại 1 điểm ⇒ phương trình (1) có 1 nghiệm.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời