Chương IV: Bất Đẳng Thức. Bất Phương Trình – Đại Số Lớp 10
Giải Bài Tập SGK: Bài 1 Bất Đẳng Thức
Bài Tập 5 Trang 79 SGK Đại Số Lớp 10
Chứng minh rằng
\(\)\(x^4- \sqrt {{x^5}} + x – \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0\).Lời Giải Bài Tập 5 Trang 79 SGK Đại Số Lớp 10
Phương pháp giải chi tiết bài tập:
Đặt \(\sqrt x = t\), sau đó xét 2 trường hợp \(0 ≤ x < 1;x ≥ 1\)
Đặt \(t = \sqrt{x} (t ≥ 0) ⇔ x ≥ 0\)
Khi đó: \(x^4 – \sqrt{x^5} + x – \sqrt{x} + 1 = t^8 – t^5 + t^2 – t + 1\)
Xét hai trường hợp: x ≥ 1 và 0 ≤ x < 1
* Trường hợp 1: x ≥ 1 ⇔ t ≥ 1
Ta có: \(t^8 ≥ t^5 ⇒ t^8 – t^5 ≥ 0\)
\(t^2 ≥ t ⇒ t^2 – t ≥ 0\)
Vậy: \(t^8 – t^5 + t^2 – t + 1 > 0\) (đpcm)
* Trường hợp 2: 0 ≤ x < 1 ⇔ 0 ≤ t < 1
Ta có: \(t^8 – t^5 + t^2 – t + 1 = t^5(t^3 – 1) + (t^2 – t + 1)\)
= \(t^5(t – 1)(t^2 + t + 1) + (t^2 – t + 1)\) (1)
Vì t ≥ 0 nên \(t^2 + t + 1 ≥ t^2 – t + 1\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(t^5(t – 1)(t^2 + t + 1) + (t^2 – t + 1) ≥ t^5(t – 1)(t^2 – t + 1) + (t^2 – t + 1)\)
⇔ \(t^8 – t^5 + t^2 – t + 1 ≥ (t^2 – t + 1)[t^5(t – 1) + 1]\)
⇔ \(t^8 – t^5 + t^2 – t + 1 ≥ (t^2 – t + 1)(t^6 – t^2 + 1)\)
⇔ \(t^8 – t^5 + t^2 – t + 1 ≥ (t^2 – t + 1)(t^6 + 1 – t^5)\)
⇔ \(t^8 – t^5 + t^2 – t + 1 ≥ 0\)
Vậy, \(x^4 – \sqrt{x^5} + x – \sqrt{x} + 1 > 0, ∀x ≥ 0\) (đpcm)
Hướng dẫn giải chi tiết bài tập 5 trang 79 sgk đại số lớp 10 bài 1 bất đẳng thức chương IV. Bài yêu cầu chứng minh rằng. Nếu có cách khác vui lòng bình luận dưới đây nhé.
Trả lời