Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Bài Tập 5 Trang 83 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là \(\)\(\frac{n(n – 3)}{2}\).
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 83 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n ∈ N^*, n ≥ 4\).
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.
Kí hiệu số đường chéo của đa giác n cạnh là \(C_n\).
Ta chứng minh \(C_n = \frac{n(n – 3)}{2} (1)\) với mọi \(n ∈ N^*, n ≥ 4\).
– Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.
Mặt khác \(\frac{4(4 – 3)}{2} = 2\) nên (1) đúng với \(n = 4\).
Vậy khẳng định đúng với \(n = 4\).
– Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là \(C_k = \frac{k(k – 3)}{2}\)
– Ta phải chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).
Tức là \(C_{k + 1} = \frac{(k + 1)((k + 1) – 3)}{2}\)
Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh
Đa giác k cạnh \(A_1A_2…A_k\) có \(\frac{k(k – 3)}{2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối \(A_{k + 1}\) với các đỉnh \(A_2,… A_{k – 1}\), ta được thêm \(k – 2\) đường chéo.
Ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là
\(\frac{k(k – 3)}{2} + k – 2 + 1\)
\(= \frac{k^2 – 3k}{2} + k – 1\)
\(= \frac{k^2 – 3k + 2k – 2}{2}\)
\(= \frac{k^2 – k – 2}{2}\)
\(= \frac{(k + 1)(k – 2)}{2}\)
\(= \frac{(k + 1)((k + 1) – 3)}{2}\)
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh.
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Chú ý:
Trên đây là cách chứng minh bằng quy nạp, các em có thể dễ dàng chứng minh công thức đó bằng kiến thức chương 2 như sau:
Cách 2: Đa giác lồi n cạnh có n đỉnh.
Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.
⇒ Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:
\(C_n^2 = \frac{n!}{2!(n – 2)!} = \frac{n(n – 1)(n – 2)!}{2(n – 2)!} = \frac{n(n – 1)}{2}\)
⇒ Số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:
\(\frac{n(n – 1)}{2} – n = \frac{n^2 – n – 2n}{2} = \frac{n^2 – 3n}{2} = \frac{n(n – 3)}{2}\)
Vậy ta có điều phải chứng.
Số đoạn thẳng ( cả cạnh và đường chéo) trong một đa giác lồi n cạnh là \(C_n^2\) đoạn thẳng
Suy ra số đường chéo của đa giác lời có n cạnh là:
\(C_n^2 – n = \frac{n!}{2!(n – 2)!} – n = \frac{(n – 2)!(n – 1)n}{2(n-2)!} – n\)
\(= \frac {n(n – 1)}{2} – n = \frac{n^2 – 3n}{2} = \frac{n(n – 3)}{2}\) (đpcm)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 83 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời