Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10
Ôn Tập Chương III
Bài Tập 5 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
Cho ba điểm \(\)\(A(4; 3), B(2; 7)\) và \(C(-3; -8)\)
a. Tìm tọa độ của trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC.
b. Gọi T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G và H thẳng hàng
c. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: Tìm tọa độ của trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức trọng tâm tìm G.
Sử dụng tính chất \(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0\) và
\(\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0\) tìm tọa độ điểm H.
Giải:
Gọi \(G(x_G; y_G)\) là trọng tâm tam giác ΔABC. Khi đó ta có:
\(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\)
\(⇒ x_G = \frac{4 + 2 – 3}{3} = 1\)
\(y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\)
\(⇒ y_G = \frac{3 + 7 – 8}{3} = \frac{2}{3}\)
Vậy \(G(1; \frac{2}{3})\)
Gọi \((x; y)\) là tọa độ của H
\(\overrightarrow{AH} = (x – 4; y – 3)\)
\(\overrightarrow{BC} = (-5; -15)\)
\(\overrightarrow{BH} = (x – 2; y – 7)\)
\(\overrightarrow{AC} = (-7; -11)\)
\(\overrightarrow{AH} ⊥ \overrightarrow{BC}\)
\(⇔ \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0\)
\(⇔ -5(x – 4) – 15(y – 3) = 0\)
\(⇔ x + 3y – 13 = 0\)
\(\overrightarrow{BH} ⊥ \overrightarrow{AC}\)
\(⇔ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}\)
\(⇔ -7(x – 2) – 11(y – 7) = 0\)
\(⇔ 7x + 11y – 91 = 0\)
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{cases}x + 3y – 13 = 0\\7x + 11y – 91 = 0\end{cases} ⇒ H(13; 0)\)
Cách khác:
Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (-5; -15)\)
\(AH ⊥ BC\) nên AH nhận \(\vec{n_1} = -\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} = (1; 3)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mà AH đi qua \(A(4; 3)\) nên \(1(x – 4) + 3(y – 3) = 0 ⇔ x + 3y – 13 = 0\)
\(\overrightarrow{AC} = (-7; -11)\)
\(BH ⊥ AC\) nên BH nhận \(\vec{n_2} = -\overrightarrow{AC} = (7; 11)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mà BH đi qua \(B(2; 7)\) nên \(7(x – 2) + 11(y – 7) = 0 ⇔ 7x + 11y – 91 = 0\)
\(H = AH ∩ BH ⇒ \begin{cases}x + 3y – 13 = 0\\7x + 11y – 91 = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x = 13\\y = 0\end{cases} ⇒ H(13; 0).\)
Câu b: Gọi T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G và H thẳng hàng.
Phương pháp giải: T là tâm đường tròn ngoại tiếp thì \(TA = TB = TC\).
Giải:
Tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
\(TA = TB = TC ⇒ TA^2 = TB^2 = TC^2\)
\(⇒ (x – 4)^2 + (y – 3)^2 = (x – 2)^2 + (y – 7)^2\)
\(⇔ x^2 – 8x + 16 + y^2 – 6y + 9 = x^2 – 4x + 4 + y^2 – 14y + 49\)
\(⇔ -4x + 8y – 28 = 0\)
\(⇔ x – 2y + 7 = 0\)
\((x – 4)^2 + (y – 3)^2 = (x + 3)^2 + (y + 8)^2\)
\(⇔ x^2 – 8x + 16 + y^2 – 6y + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 16y + 64\)
\(⇔ -14x – 22y – 48 = 0\)
\(⇔ 7x + 11y + 24 = 0\)
Do đó tọa độ tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là nghiệm của hệ:
\(\begin{cases}x – 2y + 7 = 0\\7x + 11y + 24 = 0\end{cases} ⇒ T(-5; 1)\)
Ta có: \(\overrightarrow{TH} = (18; -1); \overrightarrow{TG} = (6; -\frac{1}{3})\)
Ta có: \(\overrightarrow{TH} = 3\overrightarrow{TG}\)
Vậy ba điểm H, G, T thẳng hàng.
Câu c: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm \(T(-5; 1)\), bán kính \(R = AT\).
\(R^2 + AT^2 = (-5 – 4)^2 + (1 – 3)^2 = 85\)
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
\((x + 5)^2 + (y – 1)^2 = 85\)
Câu a: Tìm tọa độ của trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC.
Trọng tâm \(G(x_G; y_G)\)
\(\begin{cases}x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\\y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_G = 1\\y_G = \frac{2}{3}\end{cases}\)
Vậy trọng tâm của \(G(1; \frac{2}{3})\)
Gọi \(H(x; y)\) là trực tâm của tam giác ABC, Khi đó:
\(\begin{cases}x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\\y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\end{cases}
\begin{cases}\overrightarrow{AH} ⊥ \overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BH}⊥ \overrightarrow{AC}\end{cases}\)
\(⇒ \begin{cases}x + 3y – 13 = 0\\7x + 11y – 91 = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x = 13\\y = 0\end{cases}\)
Câu b: Gọi T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G và H thẳng hàng
Gọi \(T(x; y)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC khi đó:
\(\begin{cases}AT = BT\\AT = CT\end{cases} ⇔ \begin{cases}AT^2 = BT^2\\AT^2 = CT^2\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = (x – 2)^2 + (y – 7)^2\\ (x – 4)^2 + (y – 3)^2 = (x + 3)^2 + (y + 8)^2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x – 2y + 7 = 0\\7x + 11y + 24 = 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x = -5\\ y = 1\end{cases}\) Tâm đường tròn là \(T(-5; 1)\)
\(\overrightarrow{TH} = (18; -1)\) và \(\overrightarrow{TG} = (6; -\frac{1}{3}, \overrightarrow{TH} = 3\overrightarrow{TG}\) ⇒ T, G và H thẳng hàng.
Câu c: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bán kính đường tròn \(R = AT = \sqrt{85}\)
Phường trình ngoại tiếp tam giác \(ABC: (x + 5)^2 + (y – 1)^2 = 85\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10 Của Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 94 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 1 Trang 94 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 94 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 94 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 94 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 94 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 95 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 95 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 95 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 95 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 95 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 95 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 95 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 13 Trang 95 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 14 Trang 96 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 15 Trang 96 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 16 Trang 96 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 17 Trang 96 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 18 Trang 96 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 19 Trang 96 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 20 Trang 96 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 21 Trang 96 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 22 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 23 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 24 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 25 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 26 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 27 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 28 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 29 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 30 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời