Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 10
Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
a. \(\)\(a = bcosC + ccosB\)
b. \(sinA = sinBcosC + sinCcosB\)
c. \(h_a = 2RsinBsinC\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: \(a = bcosC + ccosB\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác biến đổi vế phải bằng vế trái và kết luận.
Trong tam giác ABC, theo định lí cosin ta có:
\(\begin{cases}cosC = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}\\cosB = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}\end{cases}\)
Ta có:
\(bcosC + ccosB\)
\(= b.\frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} + c.\frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}\)
\(= \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2a} + \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2a}\)
\(= \frac{a^2 + b^2 – c^2 + a^2 + c^2 – b^2}{2a}\)
\(= \frac{2a^2}{2a} = a\)
Vậy \(a = bcosC + ccosB\)
Câu b: \(sinA = sinBcosC + sinCcosB\)
Trong tam giác ABC, theo định lí sin:
\(\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R\)
\(⇒ sinA = \frac{a}{2R}\)
\(sinB = \frac{b}{2R}\)
\(sinC = \frac{c}{2R}\)
Ta có:
\(sinBcosC + sinCcosB\)
\(= \frac{b}{2R}.\frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} + \frac{c}{2R}.\frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}\)
\(= \frac{1}{2R}.\frac{a^2 + b^2 – c^2}{2a} + \frac{1}{2R}.\frac{a^2 + c^2 – b^2}{2a}\)
\(= \frac{1}{2R}(\frac{a^2 + b^2 – c^2}{2a} + \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2a})\)
\(= \frac{1}{2R}.\frac{2a^2}{2a} = \frac{a}{2R} = sinA ⇒ đpcm.\)
Cách khác:
\(A + B + C = 180^0.\)
\(⇒ A = 180^0 – (B + C)\)
\(⇒ sinA = sin[180^0 – (B + C)]\)
\(⇔ sinA = sin(B + C)\)
\(= sinBcosC + sinCcosB\)
\(⇒ đpcm.\)
Câu c: \(h_a = 2RsinBsinC\)
Ta lại có: \(a.h_a = 2S ⇒ h_a = \frac{2S}{a}\)
\(S = \frac{abc}{4R} ⇒ h_a = \frac{2.\frac{abc}{4R}}{a} = \frac{bc}{2R} (2)\)
Mà
\(\frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R ⇒ \begin{cases}b = 2RsinB\\c = 2RsinC\end{cases}\)
thay vào (2) ta được: \(h_a = \frac{2Rsin.2RsinC}{2R} ⇒ h_a = 2RsinBsinC\)
Cách khác:
\(\frac{b}{sinB} = 2R ⇒ b = 2RsinB\)
\(⇒ 2RsinBsinC = bsinC\)
\(= \frac{2.\frac{1}{2}absinC}{a} = \frac{2S}{a} = \frac{ah_a}{a} = h_a\)
\(⇒ đpcm.\)
Câu a: \(a = bcosC + ccosB\)
Trong tam giác ABC, theo định lí cosin, ta có: \(cosC = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}\) và \(cosB = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}\)
Ta có: \(b cosC + c cosB = b(\frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}) + c(\frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac})\)
\(= \frac{2a^2 + b^2 – c^2 + c^2 – b^2}{2a} = a\)
Vậy, \(a = b cosC + c cosB\)
Câu b: \(sinA = sinBcosC + sinCcosB\)
Trong tam giác ABC, theo định lý sin: \(\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R\)
\(⇒ sinA = \frac{a}{2R}; sinB = \frac{b}{2R}; sinC = \frac{c}{2R}\)
Ta có: \(sinBcosC + sinCcosB = \frac{b}{2R}.\frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} + \frac{c}{2R}.\frac{1^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{a}{2R} = sinA\)
Câu c: \(h_a = 2RsinBsinC\)
Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}acsinB = \frac{1}{2}ah_a ⇔ h_a = c sin B\)
\(⇔ h_a = 2R sin C sin B\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10 Thuộc Ôn Tập Cuối Năm Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời