Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác – Đại Số Lớp 10
Bài 3: Công Thức Lượng Giác
Bài Tập 6 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Cho \(\)\(sin2a = -\frac{5}{9}\) và \(\frac{π}{2} < a < π\). Tính \(sina\) và \(cosa\).
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
– \(sin^2α + cos^2α = 1\)
– \(sin2a = 2sina.cosa\)
– \(cos2a = cos^2a – sin^2a = 2cos^2a – 1 = 1 – 2sin^2a\)
– \(sin^2a = \frac{1 – cos2a}{2}\)
– \(cos^2a = \frac{1 + cos2a}{2}\)
Với \(\frac{π}{2} < a < π ⇒ sina > 0, cosa < 0\)
\(sin^22a + cos^22a = 1\)
\(⇒ cos^22a = 1 – sin^22a\)
\(= 1 – (\frac{5}{9})^2 = \frac{56}{81}\)
\(⇒ cos2a = ±\sqrt{\frac{56}{81}} = ±\frac{2\sqrt{14}}{9}\)
Nếu \(cos2a = \frac{2\sqrt{14}}{9}\) thì \(sin^2a = \frac{1 – cos2a}{2}\)
\(⇒ sina = \sqrt{\frac{1 – cos2a}{2}} = \sqrt{\frac{1 – \frac{2\sqrt{14}}{9}}{2}}\)
\(= \frac{\sqrt{9 – 2\sqrt{14}}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7} – \sqrt{2})^2}}{3\sqrt{2}}\)
\(= \frac{\sqrt{7} – \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} – 2}{6}\)
\(cos^2a = \frac{1 + cos2a}{2} ⇒ cosa = -\sqrt{\frac{1 + cos2a}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{2\sqrt{14}}{9}}{2}}\)
\(= -\sqrt{\frac{9 + 2\sqrt{14}}{18}} = -\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2}{\sqrt{18}} = -\frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{14} + 2}{6}\)
Nếu \(cos2a = -\frac{2\sqrt{14}}{9}\) thì
\(sin^2a = \frac{1 – cos2a}{2}\)
\(⇒ sina = \sqrt{\frac{1 – cos2a}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{2\sqrt{14}}{9}}{2}}\)
\(= \frac{\sqrt{9 + 2\sqrt{14}}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2}}{3\sqrt{2}}\)
\(= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} + 2}{6}\)
\(cos^2a = \frac{1 + cos2a}{2}\)
\(⇒ cosa = -\sqrt{\frac{1 + cos2a}{2}} = -\sqrt{\frac{1 – \frac{2\sqrt{14}}{9}}{2}} = -\sqrt{\frac{9 – 2\sqrt{14}}{18}}\)
\(= -\frac{\sqrt{(\sqrt{7} – \sqrt{2})^2}}{\sqrt{18}} = -\frac{\sqrt{7} – \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{14} – 2}{6}\)
Vì \(\frac{π}{2} < a < π\) nên \(sin a > 0\) và \(cos a < 0\).
Ta có: * \(sin2a = 2sina.cosa = -\frac{5}{9} = 2P\)
* \(cos^2a + sin^2a = 1\)
\(⇒ (sina + cosa)^2 = 1 – 2sina.cosa = 1 – \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\)
\(⇒ sina + cosa = \begin{cases}\frac{3}{2} = S_1\\-\frac{2}{3} = S_2\end{cases}\)
Ta có hệ phương trình:
* (1) \(\begin{cases}S_1 = \frac{2}{3}\\P = -\frac{5}{18}\end{cases}\). Giải (1) ta được \(\begin{cases}sina = \frac{2 + \sqrt{14}}{6}\\cosa = \frac{2 – \sqrt{14}}{6}\end{cases}\) (do *)
* (2) \(\begin{cases}S_2 = -\frac{2}{3}\\P = -\frac{15}{18}\end{cases}\) giải (2) ta được \(\begin{cases}sina = \frac{\sqrt{14} – 2}{6}\\cosa = -\frac{\sqrt{14} -2}{6}\end{cases}\) (do *)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10 Của Bài 3: Công Thức Lượng Giác Thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Môn Đại Số Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Trả lời