Ôn Tập Cuối Năm – Đại Số Lớp 10
Giải Bài Tập SGK: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 6 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
a. Xét dấu biểu thức \(\)\(f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1)\)
b. Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau
\(y = 2x(x + 2) (C_1)\)
\(y = (x + 2)(x + 1) (C_2)\)
Tính tọa độ các giao điểm A và B của \((C_1)\) và \((C_2)\).
c. Tính các hệ số \(a, b, c\) để hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) có giá trị lớn nhất bằng 8 và đồ thị của nó đi qua A và B.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
Câu a: Xét dấu biểu thức \(f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai: “Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì rong khoảng hai nghiệm trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu với a”.
Giải:
\(f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1)\)
\(= 2x^2 + 4x – (x^2 + 3x + 2)\)
\(= x^2 + x – 2\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 + x – 2\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \(x_1 = 1, x_2 = -2\) nên:
– \(f(x) > 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x > 1 \\x < -2\\ \end{gathered} \right.\)
– \(f(x) = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 1 \\ x = -2\\ \end{gathered} \right.\)
– \(f(x) < 0 ⇔ -2 < x < 1\)
Cách khác:
\(f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1)\)
\(= (x + 2)(2x – x – 1)\)
\(= (x + 2)(x – 1)\)
Khi đó:
\(f(x) ≥ 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) ≥ 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}x + 2 ≥ 0\\x – 1 ≥ 0\end{cases} \\ \begin{cases}x + 2 ≤ 0\\x – 1 ≤ 0\end{cases}\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}x ≥ -2\\x ≥ 1\end{cases} \\ \begin{cases}x ≤ -2\\x ≤ 1\end{cases}\\ \end{gathered} \right. ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x ≥ 1\\ x ≤ -2 \end{matrix}\)
\(f(x) < 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) < 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}x + 2 > 0\\x – 1 < 0\end{cases}\\ \begin{cases}x + 2 < 0\\x – 1 > 0\end{cases}\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}x > -2\\x < 1\end{cases} \\ \begin{cases}x < -2\\x > 1\end{cases}\\ \end{gathered} \right. ⇔ -2 < x < 1\)
Vậy \(f(x) > 0\) khi \(x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; +∞)\)
\(f(x) < 0\) khi \(x ∈ (-2; 1)\)
\(f(x) = 0\) khi \(x = -2\) hoặc \(x = 1\)
Câu b: Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau
\(y = 2x(x + 2) (C_1)\) và \(y = (x + 2)(x + 1) (C_2)\)
Tính tọa độ các giao điểm A và B của \((C_1)\) và \((C_2)\).
Giải:
Hàm số: \(y = 2x(x + 2) = 2x^2 + 4x.\)
Tập xác định: R
\(-\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2.2} = -1\)
\(-\frac{Δ}{4a} = -2\)
Hàm số có \(a = 2 > 0\) nên đồng biến trên \((-1; +∞)\) và nghịch biến trên \((-∞; -1)\).
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị:
– Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: \((-2; 0), (0; 0)\)
– Trục đối xứng \(x = -1\)
– Đỉnh: \((-1; -2)\)
Xét hàm số \(y = (x + 2)(x + 1) = x^2 + 3x + 2\)
\(-\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2.1} = -\frac{3}{2}\)
\(-\frac{Δ}{4a} = -\frac{1}{4}\)
Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên đồng biến trên \((-\frac{3}{2}; +∞)\) và nghịch biến trên \((-∞; -\frac{3}{2})\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
– Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: \((-2; 0), (-1; 0)\)
– Trục đối xứng \(x = -\frac{3}{2}\)
– Đỉnh: \((-\frac{3}{2}; -\frac{1}{4})\)
Đồ thị \((C_1)\) và \((C_2)\)
Hoành độ các giao điểm A và B của \((C_1)\) và \((C_2)\) là nghiệm của phương trình
Quan sát đồ thị ta thấy hai giao điểm \(A(-2; 0), B(1; 6)\)
Cách khác:
\(2x(x + 2) = (x + 2)(x + 1)\)
\(⇔ 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1) = 0\)
\(⇔ (x + 2)(2x – x – 1) = 0\)
\(⇔ (x + 2)(x – 1) = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x + 2 = 0 \\ x – 1 = 0\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x = -2 ⇒ y = 0 \\ x = 1 ⇒ y = 6\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇒ A(-2; 0), B(1; 6)\)
Câu c: Tính các hệ số \(a, b, c\) để hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) có giá trị lớn nhất bằng 8 và đồ thị của nó đi qua A và B.
Giải:
Theo đề bài ta có đồ thị hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) đi qua A và B nên: \(\begin{cases}4x – 2b + c = 0\\a + b + c = 6\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}3a – 3b = -6\\c = 6 – (a + b)\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}a – b = -2\\c = 6 – (a + b)\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}a = b – 2\\c = 6 – (b – 2 + b)\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}a = b – 2\\c = 8 – 2b\end{cases}\)
Để hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) đạt giá trị lớn nhất bằng 8 thì:
\(\begin{cases}a < 0\\\frac{-Δ}{4a} = 8\end{cases} ⇔ \begin{cases}a < 0\\\frac{4ac – b^2}{4a} = 8\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}a < 0 (1)\\4ac – b^2 = 32a (2)\end{cases}\)
Thay (1) vào (2) ta có:
\(4(b – 2)(8 – 2b) – b^2 = 32(b – 2)\)
\(⇔ 4(8b – 2b^2 – 16 + 4b) – b^2 = 32b – 64\)
\(⇔ 32b – 8b^2 – 64 + 16b – b^2 = 32b – 64\)
\(⇔ 9b^2 – 16b = 0\)
\(⇔ 9b(9b – 16) = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} 9b = 0 \\ 9b – 16 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} b = 0 \\ b = \frac{16}{9}\\ \end{gathered} \right.\)
– Với \(b = 0\) ta có: \(a = -2, c = 8 ⇒ y = -2x^2 + 8\)
– Với \(b = \frac{16}{9}\) thì \(a = -\frac{2}{9}, c = \frac{40}{9} ⇒ y = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{16}{9}x + \frac{40}{9}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10 Của Bài Tập Thuộc Ôn Tập Cuối Năm Môn Đại Số Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 2 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 3 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 4 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 5 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 6 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 7 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Câu Hỏi 8 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 1 Trang 159 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 160 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 161 SGK Đại Số Lớp 10
Trả lời