Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y = \frac{mx – 1}{2x + m}\)
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua \(A(-1; \sqrt{2})\).
c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm của hàm số: y’, chỉ ra \(y’ > 0, ∀x ∈ D\).
Giải: \(y = \frac{mx – 1}{2x + m}\)
Tập xác định: R \ \({\frac{-m}{2}}\)
Ta có: \(y’ = \frac{m^2 + 2}{(2x + m)^2} > 0, ∀x ≠ -\frac{m}{2}\)
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Câu b: Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua \(A(-1; \sqrt{2})\).
Phương pháp giải: Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số theo m. Sau đó thế tọa độ của điểm A vào phương trình đường tiệm cận để tìm m.
Giải: Tiệm cận đứng Δ: \(x = -\frac{m}{2}\)
Vì \(A(-1; \sqrt{2}) ∈ Δ ⇔ -\frac{m}{2} = -1 ⇔ m = 2\).
Câu c: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
Phương pháp giải: Thay giá trị của m đã cho vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Giải: Với \(m = 2\) thì hàm số đã cho có phương trình là: \(y = \frac{2x – 1}{2x + 2}\)
Tập xác định: D = R \ {-1}
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = \frac{2.2 + 2}{(2x + 2)^2} = \frac{6}{(2x + 2)^2} > 0; ∀x ∈ D\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-∞; -1)\) và \((-1; +∞)\)
– Cực trị: Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận:
\(\lim_{x → ±∞}y = 1\)
\(\lim_{x → -1^-}y = +∞\)
\(\lim_{x → -1^+}y = -∞\)
Tiệm cận đứng là \(x = -1\), tiệm cận ngang là: \(y = 1\)
– Bảng biến thiên
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao Ox tại điểm \((\frac{1}{2}; 0)\), giao Oy tại điểm \((0; \frac{-1}{2})\)
Đồ thị hàm số nhận điểm \(I(-1; 1)\) làm tâm đối xứng.
Để giải được câu a bài 6, chúng ta cần nắm được điều kiện sao cho hàm số đồng biến trên một miền cho trước:
Vì vậy hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên miền D khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- \(f′(x) > 0, ∀x ∈ D.\).
- \(f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D\) và \(f′(x) = 0\) chỉ tại một số điểm hữu hạn \(x_0 ∈ D\) (Phương trình \(f'(x) = 0\) có hữu hạn nghiệm).
Còn với câu b của bài 6 ta cần tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số theo m, rồi từ dữ liệu tiệm cần đó đi qua điểm ta có giá trị m.
Câu a: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Xét hàm số: \(y = \frac{mx – 1}{2x + m}\).
Ta có tập xác định: R \ \({\frac{-m}{2}}\)
\(y’ = \frac{m^2 + 2}{(2x + m)^2} > 0; ∀x ≠ -\frac{m}{2}\)
Như vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \((-∞; -\frac{m}{2})\) và \((-\frac{m}{2}; +∞)\).
Câu b: Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua \(A(-1; \sqrt{2})\).
Điều kiện đề hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) có tiệm cận đứng là \(\begin{cases}c ≠ 0\\ad – bc ≠ 0\end{cases} ⇒ \begin{cases}c = 2 ≠ 0\\m^2 + 2 ≠ 0, ∀m\end{cases}\) (luôn đúng).
Ta có:
\(\lim_{x → (-\frac{m}{2})^+}y = \lim_{x → (-\frac{m}{2})^+}y\frac{mx – 1}{2x + m} = -∞\)
\(\lim_{x → (-\frac{m}{2})^-}y = \lim_{x → (-\frac{m}{2})^-}y\frac{mx – 1}{2x + m} = +∞\)
Vì vậy đường thẳng \(x = -\frac{m}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Và cận đứng đi qua \(A(-1; \sqrt{2})\) khi và chỉ khi: \(-\frac{m}{2} = -1 ⇔ m = 2\)
Khi ta tìm điều kiện liên quan đến các tiệm cận đứng thì chỉ cần quan tâm đến hoành độ, ví dụ trong bài 6, đường thẳng x = -1 sẽ đi qua \(A(-1; \sqrt{2})\).
Câu c: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
Với m = 2, ta có hàm số sau \(y = \frac{2x – 1}{2x + 2}\)
Ta có tập xác định D = \ {-1}
Tiệm cận:
\(\lim_{x → (-1)^-}y = \lim_{x → (-1)^-}y\frac{2x – 1}{2x + 2} = +∞; \lim_{x → (-1)^+}y = \lim_{x → (-1)^+}y\frac{2x – 1}{2x + 2} = -∞\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = -1\) làm tiệm cận đứng.
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}y\frac{2x – 1}{2x + 2} = 1; \lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}y\frac{2x – 1}{2x + 2} = 1\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 1\) làm tiệm cận ngang.
Đạo hàm: \(y’ = \frac{6}{(2x + 2)^2} > 0, ∀x ≠ -1.\)
Bảng biến thiên của hàm số:
Như vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng \((-∞; -1)\); và \((-1; +∞)\).
Cực trị hàm số không có:
Đồ thị của hàm số như sau:
- Đồ thị của hàm số nhận điểm I(-1;1) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại \((\frac{1}{2})\); cắt Oy tại \((0; -\frac{1}{2})\).
- Đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-2; \frac{5}{2})\).
Đồ thị của hàm số:
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời