Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng – Hình Học Lớp 10
Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ
Bài Tập 6 Trang 46 SGK Hình Học Lớp 10
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm \(\)\(A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2)\). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 46 SGK Hình Học Lớp 10
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 0 ⇒ ABCD\) là hình chữ nhật.
AB = AD ⇒ ABCD là hình vuông.
Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (1; 7); \overrightarrow{DC} = (1; 7); \overrightarrow{AD} = (-7; 1)\)
\(⇒ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
Mà \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\) không cùng phương
⇒ Tứ giác ABCD là hình bình hành (1)
Ta có:
\(AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 7^2}\)
\(= \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(AD = |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-7)^2 + 1^2}\)
\(= \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
Suy ra AB = AD, kết hợp với (1) suy ra ABCD là hình thoi (2)
Mặt khác \(\overrightarrow{AB} = (1; 7); \overrightarrow{AD} = (-7; 1)\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 1.(-7) + 7.1 = 0\)
\(⇒ \overrightarrow{AB} ⊥ \overrightarrow{AD}\) nên AB ⊥ AD (3)
Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông.
Chú ý:
Các em cũng có thể đổi thứ tự chứng minh AB ⊥ AD lên trước để suy ra tứ giác là hình chữ nhật, rồi sau đó chứng minh AB = AD suy ra tứ giác là hình vuông cũng được.
Ta có: \(AB = \sqrt{(8 – 7)^2 + [4 – (-3)]^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(BC = \sqrt{(1 – 8)^2 + (5 – 4)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(CD = \sqrt{(0 – 1)^2 + (-2 – 5)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(DA = \sqrt{(7 – 0)^2 + [-3 -(-2)]^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(⇒ AB = BC = CD = DA ⇒ ABCD\) là hình thoi (1)
Mặt khác: \(\overrightarrow{AB} = (8 – 7; 4 -(-3)) = (1; 7); \overrightarrow{BC} = (1 – 8; 5 – 4) = (-7; 1)\)
\(⇒ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 1.(-7) + 7.1 = -7 + 7 = 0 ⇒ AB ⊥ BC (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: ABCD là hình vuông.
Nhận xét: Ta cũng có thể chứng minh các vectơ \(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{CD}; \overrightarrow{DA}\) đôi một vuông góc, rồi chứng minh 2 cạnh liên tiếp bằng nhau.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 46 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Thuộc Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời