Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Bài Tập 6 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Chứng minh rằng AB ⊥ Ô’ và tứ giác CDD’C’ là hình chữ nhật.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
– Chứng minh CDD’C’ là tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau và có 1 góc vuông.
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO’} = \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AO’} – \overrightarrow{AO})\)
\(= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO’} – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}\)
\(= AB.AO’.cos45^0 – AB.AO.cos45^0\)
\(= 0\)
Vậy AB ⊥ OO’
\(\begin{cases}CD // C’D’\\CD = C’D’\end{cases} ⇒ CDD’C’\) là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Xét tam giác ACC’ có OO’ là đường trung bình của tam giác nên OO’ // CC’.
Mà AB // CD và AB ⊥ OO’ nên CD ⊥ CC’.
⇒ CDD’C’ là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông).
Ta thấy OO’ là đường trung bình của tam giác BDD’
\(\)\(⇒ OO’= \frac{1}{2}\overrightarrow{DD’}\) (1)Xét tích vô hướng ta có như sau:
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO’} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DD’}\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD’} – \overrightarrow{AD})\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD’} – \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\)
Vì khi đó ABCD và ABC’D’ là các hình vuông
⇒ AB ⊥ AD và AB ⊥ AD’
\(⇒ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD’} = \vec{0}\) và \(\overrightarrow{ AB}.\overrightarrow{AD’} = \vec{0}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO’} = \vec{0}\) hay \(AB ⊥ OO’\) (đpcm)
* Ta có thể thấy OO’ cũng là đường trung bình của tam giác ACC’
\(⇒ OO’ = \frac{1}{2}CC’\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra được \(\overrightarrow{CC’} = \overrightarrow{DD’} ⇒ CDD’C’\) là hình bình hành.
Mặt khác do AB ⊥ OO’ ⇒ AB ⊥ DD’ ⇒ CD ⊥ DD’ ⇒ CDD’C’ là hình chữ nhật (đpcm).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời