Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác – Đại Số Lớp 10
Ôn Tập Chương VI
Bài Tập 7 Trang 156 SGK Đại Số Lớp 10
Chứng minh các đồng nhất thức
a. \(\)\(\frac{1 – cosx + cos2x}{sin2x – sinx} = cotx\)
b. \(\frac{sinx + sin\frac{x}{2}}{1 + cosx + cos\frac{x}{2}} = tan\frac{x}{2}\)
c. \(\frac{2cos2x – sin4x}{2cos2x + sin4x} = tan^2(\frac{π}{4} – x)\)
d. \(tanx – tany = \frac{sin(x – y)}{cosxcosy}\)
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 156 SGK Đại Số Lớp 10
Câu a: \(\frac{1 – cosx + cos2x}{sin2x – sinx} = cotx\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\(cos2α = 2coss^2α – 1\)
\(sin2α = 2sinαcosα\)
Giải:
\(\frac{1 – cos + cos2x}{sin2x – sin}\)
\(= \frac{1 – cos + 2cos^2x – 1}{2sinxcosx – sinx}\)
\(= \frac{2cos^2x – cosx}{2sinxcosx – sinx}\)
\(= \frac{cosx(2cosx – 1)}{sinx(2cosx 0 1)}\)
\(= \frac{cosx}{sinx} = cotx\)
Câu b: \(\frac{sinx + sin\frac{x}{2}}{1 + cosx + cos\frac{x}{2}} = tan\frac{x}{2}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\(cos2α = 2cos^2α – 1\)
\(sin2α = 2sinαcosα\)
Giải:
\(\frac{sinx + sin\frac{x}{2}}{1 + cosx + cos\frac{x}{2}}\)
\(= \frac{sin(2.\frac{x}{2}) + sin\frac{x}{2}}{1 + cos(2.\frac{x}{2}) + cos\frac{x}{2}}\)
\(= \frac{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + sin\frac{x}{2}}{1 + 2cos^2\frac{x}{2} – 1 + cos\frac{x}{2}}\)
\(= \frac{sin\frac{x}{2}(2cos\frac{x}{2} + 1)}{2cos^2\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}}\)
\(= \frac{sin\frac{x}{2}(2cos\frac{x}{2} + 1)}{cos\frac{x}{2}(2cos\frac{x}{2} + 1)}\)
\(= \frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}} = tan\frac{x}{2}\)
Câu c: \(\frac{2cos2x – sin4x}{2cos2x + sin4x} = tan^2(\frac{π}{4} – x)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\(sin2α = 2sinαcosα\)
\(sinα = cos(\frac{π}{2} – α)\)
\(cos2α = 2cos^2α – 1 = 1 – 2sin^2α\)
Giải:
\(\frac{2cos2x – sin4x}{2cos2x + sin4x}\)
\(= \frac{2cos2x – 2sin2xcos2x}{2cos2x + 2sin2xcos2x}\)
\(= \frac{2cos2x(1 – sin2x)}{2cos2x(1 + sin2x)}\)
\(= \frac{1 – sin2x}{1 + sin2x}\)
\(= \frac{1 – cos(\frac{π}{2} – 2x)}{1 + cos(\frac{π}{2} – 2x)}\)
\(= \frac{1 – cos[2.(\frac{π}{4} – x)]}{1 + cos[2.(\frac{π}{4} – x)]}\)
\(= \frac{1 – [1 – 2sin^2(\frac{π}{4} – x)]}{1 + [2cos^2(\frac{π}{4} – x)]}\)
\(= \frac{2sin^2(\frac{π}{4} – x)}{2cos^2(\frac{π}{4} – x)}\)
\(= tan^2(\frac{π}{4} – x)\)
Câu d: \(tanx – tany = \frac{sin(x – y)}{cosxcosy}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\(tanα = \frac{sinα}{cosα}\)
\(sinαcosα – sinbcosa = sin(a – b)\)
Giải:
\(tanx – tany\)
\(= \frac{sinx}{cosx} – \frac{siny}{cosy}\)
\(= \frac{sinxcosy – cosxsiny}{cosxcosy}\)
\(= \frac{sin(x – y)}{cosxcosy}\)
Câu a: \(\frac{1 – cosx + cos2x}{sin2x – sinx} = cotx\)
\(1 – cosx + cos2x = 1 + cos2x – cosx\)
\(= 2cos^2x – cosx\)
\(= cosx(2cosx – 1)\) (1)
\(sin2x – sinx = 2sinxcosx – sinx\)
\(= sinx(2cosx – 1)\) (2)
Tư (1) và (2) ⇒ \(\frac{1 – sinx + cos2x}{sin2x – sinx} = \frac{cosx}{sinx} = cotx\) (đpcm)
Câu b: \(\frac{sinx + sin\frac{x}{2}}{1 + cosx + cos\frac{x}{2}} = tan\frac{x}{2}\)
\(sinx + sin\frac{x}{2} = 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + sin\frac{x}{2} = sin\frac{x}{2}(2cos\frac{x}{2} + 1)\) (1)
\(1 + cosx + cos\frac{x}{2} = 2cos^2\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2} = cos\frac{x}{2}(2cos\frac{x}{2} + 1)\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ \(\frac{sinx + sin\frac{x}{2}}{1 + cosx + cos\frac{x}{2}} = tan\frac{x}{2}\)(đpcm)
Câu c: \(\frac{2cos2x – sin4x}{2cos2x + sin4x} = tan^2(\frac{π}{4} – x)\)
\(2cos2x – sin4x = 2cos2x – 2sin2x.cos2x = 2cos2x(1 – sin2x)\)
\(2cos2x – sin4x = 2cos2x(1 + sinx)\)
Suy ra, \(\frac{2cos2x – sin4x}{2cos2x + sin4x} = \frac{1 – sin2x}{1 + sin2x}\)
\(= \frac{sin\frac{π}{2} – sin2x}{sin\frac{π}{2} + sin2x} = \frac{2cos(\frac{π}{4} + x)sin(\frac{π}{4} – x)}{2sin(\frac{π}{4} + x)sin(\frac{π}{4} – x)}\)
\(= cot(\frac{π}{4} + x)tg(\frac{π}{4} – x)\) (1)
Mà \((\frac{π}{4} + x) + (\frac{π}{4} – x) = \frac{π}{2}\) nên \(cot(\frac{π}{4} + x) = tan(\frac{π}{4} – x)\)
Do đó, (1) ⇔ \(\frac{2cos2x – sin4x}{2cos2x + sin4x} = tan^2(\frac{π}{4} – x)\) (đpcm)
Câu d: \(tanx – tany = \frac{sin(x – y)}{cosxcosy}\)
\(tanx – tany = \frac{sinx}{cosx} – \frac{siny}{cosy} = \frac{sinxcosy – sinycosx}{cosxcosy} = \frac{sin(x – y)}{cosx.cosy}\)
Vậy, \(tanx – tany = \frac{sin(x – y)}{cosxcosy}\) (đpcm)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 156 SGK Đại Số Lớp 10 Của Ôn Tập Chương VI Thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Môn Đại Số Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 155 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 155 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 155 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 155 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 156 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 156 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 156 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 157 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 157 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 157 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 157 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 13 Trang 157 SGK Đại Số Lớp 10
- Bài Tập 14 Trang 157 SGK Đại Số Lớp 10
Trả lời