Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Bài 4: Hệ Trục Tọa Độ
Bài Tập 7 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
Các điểm \(\)\(A'(-4; 1), B'(2; 4)\) và \(C'(2; -2)\) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) trùng nhau.
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
– G là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\begin{cases}x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\\y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\end{cases}\)
Giả sử \(A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C, y_C)\)
A’ là trung điểm \(BC ⇔ \begin{cases}x_{A’} = \frac{x_B + x_C}{2}\\y_{A’} = \frac{y_B + y_C}{2}\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}-4 = \frac{x_B + x_C}{2}\\1 = \frac{y_B + y_C}{2}\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_B + x_C = -8 (1)\\y_B + y_C = 2 (2)\end{cases}\)
B’ là trung điểm \(CA ⇔ \begin{cases}x_{B’} = \frac{x_C + x_A}{2}\\y_{B’} = \frac{y_C + y_A}{2}\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}2 = \frac{x_C + x_A}{2}\\4 = \frac{y_C + y_A}{2}\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_C + x_A = 4 (3)\\y_C + y_A = 8 (4)\end{cases}\)
C’ là trung điểm \(AB ⇔ \begin{cases}x_{C’} = \frac{x_A + x_B}{2}\\y_{C’} = \frac{y_A + y_B}{2}\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}2 = \frac{x_A + x_B}{2}\\-2 = \frac{y_A + y_B}{2}\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_A + x_B = 4 (5)\\y_A + y_B = -4 (6)\end{cases}\)
Từ (1), (3) và (5) ta có hệ:
\(\begin{cases}x_B + x_C = -8\\x_C + x_A = 4\\x_A + x_B = 4\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_C = -8 – x_B\\-8 – x_B + x_A = 4\\x_A + x_B = 4\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x_C = -8 – x_B\\x_A – x_B = 12\\x_A + x_B = 4\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_A = 8\\x_B = -4\\x_C = -4\end{cases}\)
Từ (2), (4) và (6) ta có hệ:
\(\begin{cases}y_B + y_C = 2\\y_C + y_A = 8\\y_A + y_B = -4\end{cases} ⇔ \begin{cases}y_C = 2 – y_B\\2 – y_B + y_A = 8\\y_A + y_B = -4\end{cases} ⇔ \begin{cases}y_C = 2 – y_B\\y_A – y_B = 6\\y_A + y_B = -4\end{cases} ⇔ \begin{cases}y_A = 1\\y_B = -5\\y_C = 7\end{cases}\)
Vậy \(A(8; 1), B(-4; -5), C(-4; 7)\)
Gọi \(G(x_G; y_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)
Khi đo ta có:
\(\begin{cases}x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{8 – 4 – 4}{3} = 0\\y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{1 – 5 + 7}{3} = 1\end{cases}\)
Vậy \(G(0; 1)\) (*)
Gọi \(G'(x_{G’}; y_{G’})\) là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\)
Khi đó ta có:
\(\begin{cases}x_{G’} = \frac{x_{A’} + x_{B’} + x_{C’}}{3} = \frac{-4 + 2 + 2}{3} = 0\\y_{G’} = \frac{y_{A’} + y_{B’} + y_{C’}}{3} = \frac{1 + 4 – 2}{3} = 1\end{cases}\)
Vậy \(G'(0; 1)\) (**)
Từ (*) và (**) ta thấy \(G ≡ G’\)
Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) trùng nhau.
A’ là trung điểm của \(BC ⇒ \begin{cases}x_B + x_C = 2.x_{A’}\\y_B + y_C = 2.y_{C’}\end{cases}\)
B’ là trung điểm của \(AC ⇒ \begin{cases}x_A + x_C = 2.x_{B’}\\y_A + y_C = 2.y_{B’}\end{cases}\)
C’ là trung điểm của \(BA ⇒ \begin{cases}x_B + x_A = 2.x_{C’}\\y_B + y_A = 2.y_{C’}\end{cases}\)
Gọi G là trọng tâm \(ΔABC\) và G’ là trọng tâm \(ΔA’B’C’\)
Ta có:
\(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\)
\(= \frac{x_A + x_B + x_B + x_C + x_C + x_A}{6}\)
\(= \frac{2.x_{C’} + 2.x_{A’} + 2.x_{B’}}{6}\)
\(= \frac{x_{A’} + x_{B’} + x_{C’}}{3} = x_{G’}\)
\(y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\)
\(= \frac{y_A + y_B + y_B + y_C + y_C + y_A}{6}\)
\(= \frac{2.y_{C’} + 2.y_{A’} + 2.y_{B’}}{6}\)
\(= \frac{y_{A’} + y_{B’} + y_{C’}}{3} = y_{G’}\)
Vậy \(G ≡ G’\) (đpcm)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 4: Hệ Trục Tọa Độ Thuộc Chương I: Vectơ Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời