Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + m\).
a. Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1; 1)\)?
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi \(m = 1\).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1; 1)\)?
Phương pháp giải: Thay tọa độ điểm đề bài đã cho vào công thức hàm số để tìm m.
Giải: Điểm (-1; 1) thuộc đồ thị của hàm số \(⇔ 1 = \frac{1}{4}(-1)^4 + \frac{1}{2}(-1)^2 + m ⇔ m = \frac{1}{4}\)
Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi \(m = 1\).
Phương pháp giải: Thay giá trị m đã cho vào công thức hàm số, sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước.
Giải: Với \(m = 1 ⇒ y = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1\)
Tập xác định: R
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = x^3 + x = x(x^2 + 1) ⇒ y’ = 0 ⇔ x = 0\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞), nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)
– Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0; y_{CT} = 1\)
– Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = +∞, \mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = +∞\)
– Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục Oy tại điểm (0; 1).
Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
Phương pháp giải: Xác định tọa độ điểm đề bài cho tung độ bằng cách thay tung độ đề bài đã cho vào công thức hàm số để tìm hoành độ các điểm đó.
– Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M(x_0; y_0)\) bằng công thức \(y = y'(x_0)(x – x_0) + y_0\).
Giải: Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\) là: \(M(x_0; \frac{7}{4})\).
Khi đó: \(\frac{1}{4}x_0^4 + \frac{1}{2}x_0^2 + 1 = \frac{7}{4} ⇔ x_0^4 + 2x_0^2 + 4 = 7\)
\(⇔ x_0^4 + 2x_0^2 – 3 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x_0^2 = 1\\ x_0^2 = -3 (ktm)\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x_0 = 1 \\ x_0 = -1\\ \end{gathered} \right. ⇒ \left[ \begin{gathered} M_1(1; \frac{7}{4}) \\ M_2(-1; \frac{7}{4})\\ \end{gathered} \right.\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M_1\) là: \(y = y'(1)(x – 1) + \frac{7}{4} ⇔ y = 2x – \frac{1}{4}\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M_2\) là: \(y = y'(-1)(x + 1) + \frac{7}{4} ⇔ y = -2x – \frac{1}{4}\)
Câu a bài 7, yêu cầu các em tìm tham số m để đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước, rất đơn giản khi ta chỉ cần thay tọa độ điểm đó vào hàm số tương y là tung độ, x là hoành độ, và khi đó ta chỉ cần giải và tim tham số m.
Với câu b, ta thay giá trị m vào hàm số ta sẽ được một hàm số cụ thể sau và sau đó thực hiện các bước khảo sát sự biến thiên cũng như vẽ đồ thị hàm số này.
Câu c, ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại tiếp điểm \(M(x_0, y_0)\) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng: \(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\).
Như vậy ngay trong câu c ta cần phải xác định được tọa độ tiếp điểm. Trong khi đó theo đề bài ta có tung độ tiếp điểm \(\frac{7}{4}\) từ đó ta thay vào hàm số sẽ được tìm hoành độ.
Câu a: Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1; 1)\)?
Điểm \((-1; 1)\) thuộc đồ thị của hàm số \(⇔ 1 = \frac{1}{4}(-1)^4 + \frac{1}{2}(-1)^2 + m ⇔ m = \frac{1}{4}\).
Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi \(m = 1\).
Với m=1 ta có hàm số như sau: \(y = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1\)
Tập xác định của hàm số: D = R.
Giới hạn của hàm số: \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}y = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}y = +∞\)
Sự biến thiên:
Tính đạo hàm: \(y’ = x^3 + x = x(x^2 + 1); y’ = 0 ⇔ x = 0\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến khoảng \((0; +∞)\) và nghịch biến khoảng \((-∞; 0)\).
Cực trị của hàm số:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(0) = 1\).
Đồ thị của hàm số:
- Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1).
- Với x = 1 ta có \(y = \frac{7}{4}.\)
- Với x = -1 ta có \(y = \frac{7}{4}.\)
Đồ thị hàm số:
Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
\(\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1 = \frac{7}{4}\)
\(⇔ x^4 + 2x^2 – 3 = 0 ⇔ x^2 = 1 ⇔ x = ±1\)
Vậy hai điểm thuộc (C) có tung độ \(\frac{7}{4}\) là \(A(1; \frac{7}{4})\) và \(B(-1; \frac{7}{4})\).
Ta có \(y'(-1) = -2, y'(1) = 2\).
Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại \(A\) là: \(y – \frac{7}{4} = y'(1)(x – 1) ⇔ y = 2x – \frac{1}{4}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại \(B\) là: \(y – \frac{7}{4} = y'(-1)(x + 1) ⇔ y = -2x – \frac{1}{4}\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời