Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số
Bài Tập 8 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Cho lục giác \(\)\(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.
Lời Giải Bài Tập 8 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
Tương tự ta có:
\(\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CE}\)
\(\overrightarrow{RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EA}\)
\(⇒ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS}\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow{EA}\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EA})\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EA}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA} = \vec{0}\)
\(⇒ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS} = \vec{0}\)
Gọi G là trọng tâm của tam giác \(MPR\), ta có:
\(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GP} + \overrightarrow{GR} = \vec{0}\) (2)
Mặt khác:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GN}\)
\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GQ}\)
\(\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{RG} + \overrightarrow{GS}\)
\(⇒ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS} = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{PG} + \overrightarrow{RG}) + (\overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GS})\)
\(= \vec{0} + \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GS} = \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GS}\)
(vì \(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{PG} + \overrightarrow{RG} = -\overrightarrow{GM} – \overrightarrow{GP} – \overrightarrow{GR} = -(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GP} + \overrightarrow{GR}) = \vec{0}\))
\(⇒ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GS}\)
Mà \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS} = \vec{0}\) nên
\(\overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GS} = \vec{0}\)
Vậy G là trọng tâm của tam giác \(NQS\).
Sử dụng kết quả G là trọng tâm của \(ΔABC ⇔ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)
Gọi G là trọng tâm của ΔMPR, ta cần chứng minh G là trọng tâm của ΔNQS, tức là:
\(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GP} + \overrightarrow{GR} = \overrightarrow{0} ⇒ \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GS} = \vec{0}\)
Ta có: \(\overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GS}\)
\(= (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MN}) + (\overrightarrow{GP} + \overrightarrow{PQ}) + (\overrightarrow{GR} + \overrightarrow{RS})\)
\(= (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GP} + \overrightarrow{GR}) + (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS})\)
\(= \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS}\)
\(= (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN}) + (\overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DQ}) + (\overrightarrow{RF} + \overrightarrow{FS})\)
\(= (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DQ}) + (\overrightarrow{QD} + \overrightarrow{FS}) + (\overrightarrow{RF} + \overrightarrow{BN})\)
\(= \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\)
(Vì \(\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{DQ}; \overrightarrow{PD} = -\overrightarrow{FS}; \overrightarrow{RF} = -\overrightarrow{BN}\))
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 8 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số Thuộc Chương I: Vectơ Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời