Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 8 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác OAB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho
a. \(\)\(\overrightarrow{OM} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
b. \(\overrightarrow{AN} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
c. \(\overrightarrow{MN} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
d. \(\overrightarrow{MB} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Lời Giải Bài Tập 8 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác OAB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho:
Câu a: \(\overrightarrow{OM} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Phương pháp giải:
Biểu diễn \(\overrightarrow{OM}\) qua \(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\) suy ra m, n.
Giải:
Ta có: M là trung điểm của OA nên:
\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + 0.\overrightarrow{OB}\)
\(⇒ m = \frac{1}{2}, n = 0\)
Cách trình bày khác
Ta có: \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\)
\(\overrightarrow{OM} = n\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
\(⇒ m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\)
\(⇔ m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} – \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \vec{0}\)
\(⇔ (m – \frac{1}{2})\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ \begin{cases}m – \frac{1}{2} = 0\\n = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}m = \frac{1}{2}\\n = 0\end{cases}\)
Vậy \(m = \frac{1}{2}; n = 0\)
Câu b: \(\overrightarrow{AN} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Ta có: N là trung điểm OB nên \(\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)
Khi đó,
\(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ON} – \overrightarrow{OA}\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}\)
\(= (-1).\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)
\(⇒ m = -1, n = \frac{1}{2}\)
Cách khác
Ta có: vì N là trung điểm OB
\(2\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AB}\)
\(⇒ 2\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}\)
\(⇒ 2\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}\)
\(⇒ \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)
\(⇔ m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)
\(⇔ m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA} – \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ (m + 1)\overrightarrow{OA} + (n – \frac{1}{2})\overrightarrow{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ \begin{cases}m + 1 = 0\\n – \frac{1}{2} = 0\end{cases} \begin{cases}m = -1\\n = \frac{1}{2}\end{cases}\)
Vậy \(m = -1, n = \frac{1}{2}\).
Câu c: \(\overrightarrow{MN} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} – \overrightarrow{OM}\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} – \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\)
\(= -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)
\(⇒ m = -\frac{1}{2}, n = \frac{1}{2}\)
Cách khác:
\(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(⇒ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB})\)
\(⇒ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)
\(⇔ m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)
\(⇔ m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} – \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ (m + \frac{1}{2})\overrightarrow{OA} + (n – \frac{1}{2})\overrightarrow{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ \begin{cases}m + \frac{1}{2} = 0\\n – \frac{1}{2} = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}m = -\frac{1}{2}\\n = \frac{1}{2}\end{cases}\)
Vậy \(m = -\frac{1}{2}, n = \frac{1}{2}\)
Câu d: \(\overrightarrow{MB} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OM}\)
\(= \overrightarrow{OB} – \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\)
\(= -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)
\(⇒ m = -\frac{1}{2}, n = 1\)
Cách khác:
Vì M là trung điểm AO nên ta có:
\(2\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BO}\)
\(⇒ 2\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO}\)
\(⇒ 2\overrightarrow{BM} = 2\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA}\)
\(⇒ 2\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}\)
\(⇒ \overrightarrow{MB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)
\(⇔ m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)
\(⇔ m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ (m + \frac{1}{2})\overrightarrow{OA} + (n – 1)\overrightarrow{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ \begin{cases}m + \frac{1}{2} = 0\\n – 1 = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}m = -\frac{1}{2}\\n = 1\end{cases}\)
Vậy \(m = -\frac{1}{2}, n = 1\)
Ta có: \(\vec{OA}, \vec{OB}\) là hai vectơ không cùng phương.
Câu a: \(\overrightarrow{OM} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Ta có: \(\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA}\) (M là trung điểm của OA)
Từ \(\vec{OM} = m\vec{OA} + n\vec{OB} ⇒ m\vec{OA} + n\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OA}\)
\(⇔ (m – \frac{1}{2})\vec{OA} + n\vec{OB} = \vec{0} ⇔ (m – \frac{1}{2})\vec{OA} + n\vec{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ \begin{cases}m -\frac{1}{2} = 0\\ n = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}m = \frac{1}{2}\\ n = 0\end{cases}\)
Câu b: \(\overrightarrow{AN} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Ta có: \(\vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{AO} + \vec{AB})\) (do đó N là trung điểm của OB)
\(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}\) nên \(\vec{AN} = -\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}\)
Từ \(\vec{AN} = m\vec{OA} + n\vec{OB} ⇒ m\vec{OA} + n\vec{OB} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OAB}\)
\(⇔ (m + 1)\vec{OA} + (n – \frac{1}{2})\vec{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ \begin{cases}m + 1 = 0\\ n – \frac{1}{2} = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}m = 1\\ n = \frac{1}{2}\end{cases}\)
Câu c: \(\overrightarrow{MN} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Ta có: \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB}\) (MN là đường trung bình của ΔABC) và \(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}\) nên \(\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}\)
Từ: \(\vec{MN} = m\vec{OA} + n\vec{OB} ⇒ mn\vec{OA} + nn\vec{OB} = -\frac{1}{2}n\vec{OA} + \frac{1}{2}n\vec{OB}\)
\(⇔ (m + \frac{1}{2})\vec{OA} + (n – \frac{1}{2})\vec{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ \begin{cases}m + \frac{1}{2} = 0\\ n – \frac{1}{2} = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}m = -\frac{1}{2}\\ n = \frac{1}{2}\end{cases}\)
Câu d: \(\overrightarrow{MB} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}\)
Ta có: \(\vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{BA})\) (do M là trung điểm của OA)
\(\vec{BA} = \vec{OA} – \vec{OB}\) nên \(\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \vec{OB} ⇔ \vec{MB} = -\frac{1}{2}\vec{OA} + \vec{OB}\)
Từ \(\vec{MB} = m\vec{OA} + n\vec{OB} ⇒ m\vec{OA} + n\vec{OB} = -\frac{1}{2}\vec{OA} + \vec{OB}\)
\(⇔ (m + \frac{1}{2})\vec{OA} + (n – 1)\vec{OB} = \vec{0}\)
\(⇔ \begin{cases}m + \frac{1}{2} = 0\\ n – 1 = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}m = -\frac{1}{2}\\ n = 1\end{cases}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 8 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Vectơ Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 13 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 1 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 13 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 14 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 15 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 16 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 17 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 18 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 19 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 20 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 21 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 22 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 23 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 24 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 25 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 26 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 27 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 28 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 29 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 30 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời