Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y = x^3 + (m + 3)x^2 + 1 – m\) (m là tham số), có đồ thị là \((C_m)\)
a. Xác định m để hàm số có điểm cực đại là \(x = -1\).
b. Xác định m để có đồ thị \((C_m)\) cắt truch hoành tại điểm \(x = -2\).
Lời Giải Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Xác định m để hàm số có điểm cực đại là \(x = -1\).
Phương pháp giải:
Tính f'(x) và f”(x) rồi suy ra \(f'(x_0)\) và \(f”(x_0)\).
Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm \(x = x_0 ⇔ \begin{cases}f'(x_0) = 0\\f”(x_0) < 0\end{cases}\)
Giải: \(y = x^3 + (m + 3)x^2 + 1 – m\)
Ta có: \(y’ = 3x^2 + 2(m + 3)x ⇒ y” = 6x + 2(m + 3)\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = -1 ⇒ \begin{cases}y'(-1) = 0\\y”(-1) < 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}3 – 2(m + 3) = 0\\-6 + 2(m + 3) < 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}m = -\frac{3}{2}\\m < 0\end{cases} ⇒ m = -\frac{3}{2}\)
Vậy \(m = -\frac{3}{2}\), thì hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = -1\).
Câu b: Xác định m để có đồ thị \((C_m)\) cắt truch hoành tại điểm \(x = -2\).
Phương pháp giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có M hoành độ \(x = a ⇒ M(a; 0)\). Thay tọa độ điểm M vào công thức hàm số để tìm m.
Giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có M hoành độ \(x = -2 ⇒ M(-2; 0)\)
\(⇒ (-2)^3 + (m + 3)(-2)^2 + 1 – m = 0\)
\(⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 – m = 0\)
\(⇔ 4m + 5 – m = 0\)
\(⇔ 3m = -5\)
\(⇔ m = -\frac{5}{3}\)
Ở bài tập 8 câu a ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc 2 để giải, sau đó ta nên thử lại các tham số tìm được xem yêu cầu ở bài toán có thỏa mãn hay chưa.
Nếu rơi vào các trường hợp sau;
- Thứ nhất: \(y”(x_0) = 0\) với mọi m, ta không được phép dùng quy tắc 2 mà chuyển qua dùng quy tắc 1.
- Thứ hai: Nếu tính đạo hàm cấp 2 phức tạp, ta nên ưu tiên sử dụng quy tắc 1.
Nhắc lại về 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số như sau:
- Quy tắc 1
- Tìm tập xác định.
- Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x) = 0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
- Quy tắc 2
- Tìm tập xác định.
- Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm \(x_i\) của phương trình \(f'(x) = 0\).
- Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm \(x_i\)
Câu a: Xác định m để hàm số có điểm cực đại là \(x = -1\).
Xét hàm số \(y = x^3 + (m + 3)x^2 + 1 – m\)
Ta có tập xác định: D = R
Ta có: \(y’ = 3x^2 + 2(m + 3)x\)
Ta có: \(y” = 6x + 2(m + 3); y”(-1) = 2m\)
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 nếu: \(\begin{cases}-\frac{2(m + 3)}{3} = -1\\y”(-1) < 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}m = -\frac{3}{2}\\m < 0\end{cases}\)
Thử lại, với \(m = -\frac{3}{2}\) thì x = -1 là điểm cực đại của hàm số.
Câu b: Xác định m để có đồ thị \((C_m)\) cắt trục hoành tại điểm \(x = -2\).
Đồ thị \((C_m)\) cắt trục hoành tại \(x = -2 ⇒\) giao điểm là \((-2; 0)\)
Thay vào hàm số ta có như sau:
\(0 = (-2)^3 + (m + 3).(-2)^2 + 1 – m\)
\(⇔ 4m + 12 – 8 + 1 – m = 0\)
\(⇔ 3m + 5 = 0 ⇔ m = -\frac{5}{3}\)
Vậy với \(m = -\frac{5}{3}\) thì \((C_m)\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -2
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời