Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học 11
Giải Bài Tập SGK: Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Bài Tập 8 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\)\(\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^0\). Chứng minh rằng:
a. AB ⊥ CD
b. Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB và MN ⊥ CD.
Lời Giải Bài Tập 8 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Câu a: AB ⊥ CD
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AC})\)
\(= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(= AB.AD.cos\widehat{BAD} – AB.AC.cos\widehat{BAC} = 0\)
\(⇒ AB ⊥ CD\)
Câu b: Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB và MN ⊥ CD.
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}\) (1)
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}\) (2)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được
\(2\overrightarrow{MN}\)
\(= (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN})\)
\(= \vec{0} + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) + \vec{0}\)
\(= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\)
\(⇒ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB})\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB})\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} – AB^2)\)
\(= \frac{1}{2}(AB.AD.cos\widehat{BAD} + AB.AC.cos\widehat{BAC} – AB^2)\)
\(= \frac{1}{2}(AB.AD.cos60^0 + AB.AC.cos60^0 – AB^2)\)
\(= \frac{1}{2}(\frac{1}{2}AB^2 + \frac{1}{2}AB^2 – AB^2) = 0 ⇒ AB ⊥ MN.\)
\(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CD}\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}).(\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AC})\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AC}^2 + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})\)
\(= \frac{1}{2}(AD^2 – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} – AC^2 + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})\)
\(= \frac{1}{2}(AD^2 – AB.AC.cos\widehat{BAD} – AC^2 + AB.AC.cos\widehat{BAC})\)
\(= \frac{1}{2}(AB^2 – AB^2.cos60^0 – AB^2 + AB^2.cos60^0)\)
\(= \frac{1}{2}.0 = 0\)
\(⇒ MN ⊥ CD\)
Câu a: AB ⊥ CD
Xét tích vô hướng ta được như sau:
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AC})\)
\(= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(= |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AD}|.cos\widehat{BAD} – |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos\widehat{BAC}\)
\(= AB.AD.cos60^0 – AB.AC.cos60^0 = 0\) (Vì AB = AC = AD)
⇒ AB ⊥ CD (đpcm).
Câu b: Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB và MN ⊥ CD.
Ta có thể nhận thấy tam giá ABC có AB = AC và \(\widehat{BAC} = 60^0\) suy ra tam giác ABC là tam giác đều ⇒ AB = BC = AC.
Tương tự cũng có tam giác ABD đều ⇒ AB = AD = BD.
⇒ Δ ACD = ΔBCD (c.c.c) ⇒ các trung tuyến BN và AN bằng nhau.
⇒ ΔNAB cần đỉnh N mà M là tam giác cân đỉnh M mà N là trung điểm CD ⇒ MN ⊥ CD
Vậy MN ⊥ AB và MN ⊥ CD (đpcm).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 8 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời