Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 10
Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 8 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng \(\)\(Δ: 4x + 3y – 2 = 0\) và tiếp xúc với hai đường thẳng \(d_1: x + y + 4 = 0\) và \(d_2: 7x – y + 4 = 0\).
Lời Giải Bài Tập 8 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Δ có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (4; 3) ⇒ \vec{u} = (3; -4)\) và vectơ chỉ phương của Δ.
Cho \(x = 2 ⇒ 4.2 + 3y – 2 = 0 ⇔ y = -2\) nên Δ đi qua điểm \(M(2; -2)\)
PTTS của Δ: \(\begin{cases}x = 2 + 3t\\y = -2 – 4t\end{cases}\)
Tâm \(I ∈ Δ ⇒ I(2 + 3t; -2 – 4t)\)
(C) tiếp xúc \(d_1, d_2 ⇔ d(I, d_1) = d(I, d_2)\)
\(⇔ \frac{|2 + 3t – 2 – 4t + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\)
\(= \frac{|7(2 + 3t) + 2 + 4t + 4|}{\sqrt{7^2 + 1^2}}\)
\(⇔ \frac{|4 – t|}{\sqrt{2}} = \frac{|25t + 20|}{5\sqrt{2}}\)
\(⇔ |4 – t| = |5t + 4|\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}4 – t =5t + 4\\4 – t = -5t – 4 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}6t = 0\\ 4t = -8 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 0\\ t = -2 \end{matrix}\)
Với \(t = 0\) thì \(I(2; -2)\), bán kính \(R = d(I, d_1) = \frac{|0 + 0 + 4|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\)
\(⇒ (C_1) : (x – 2)^2 + (y + 2)^2 = 8\)
Với \(t = -2\) thì \(I(-4; 6)\), bán kính \(R = d(I, d_1) = \frac{|-4 + 6 + 4|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)
\(⇒ (C_1) : (x + 4)^2 + (y – 6)^2 = 18\)
Cách khác
Ta biết đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì có tâm nằm trên đường phân giác của góc đó.
⇒ Tâm I của đường tròn cần tìm là giao điểm của Δ với các đường phân giác của các góc tại bởi hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).
Ta viết phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc do \(d_1\) và \(d_2\) tạo thành.
Gọi \(M(x; y)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi \(d_1, d_2\).
Khi đó
\(d(M, d_1) = d(M, d_2)\)
\(⇔ \frac{|x + y + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|7x – y + 4|}{\sqrt{7^2 + 1^2}}\)
\(⇔ \frac{|x + y + 4|}{\sqrt{2}} = \frac{|7x – y + 4|}{5\sqrt{2}}\)
\(⇔ 5|x + y + 4| = |7x – y + 4|\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 5(x + y + 4) = 7x – y + 4\\ 5(x + y + 4) = -7x + y – 4\end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}5x + 5y + 20 = 7x – y + 4\\5x + 5y + 20 = -7x + y – 4 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x- 6y – 16 = 0\\12x + 4y + 24 = 0 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x – 3y – 8 = 0\\ 3x + y + 6 = 0 \end{matrix}\)
⇒ hai đường phân giác lần lượt là \(Δ_1: x – 3y – 8 = 0\) và \(Δ_2: 3x + y + 6 = 0\)
Trường hợp 1: \(I = Δ ∩ Δ_1 ⇒ \begin{cases}x – 3y – 8 = 0\\4x + 3y – 2 = 0\end{cases} ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 2\\ y = -2 \end{matrix} ⇒ I(2; -2)\)
Bán kính \(R = d(I, d_1) = \frac{|0 + 0 + 4|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\)
\(⇒ (C_1) : (x – 2)^2 + (y + 2)^2 = 8\)
Trường hợp 2: \(I = Δ ∩ Δ_2 ⇒ \begin{cases}3x + y + 6 = 0\\4x + 3y – 2 = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x = -4\\y = 6\end{cases} ⇒ I(-4; 6)\)
Bán kính \(R = d(I, d_1) = \frac{|-4 + 6 + 4|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)
\(⇒ (C_1) : (x + 4)62 + (y – 6)^2 = 18\)
Theo như kiến thức ta ta biết được đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc tù thì có tâm nằm trên đường phân giác của góc đó.
Vậy tâm I của đường tròn cần tìm là giao điểm của Δ với các đường phân giác của các góc đo do hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) tạo thành.
Như vậy ta có phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc do \(d_1\) và \(d_2\) tạo thành là:
\(\frac{x + y + 4}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = ±\frac{7x – y + 4}{\sqrt{7^2 + 1^2}}\)
Rút gọn, ta được phương trình hai phân giác như sau:
\(p_1: x – 3y – 8 = 0\)
\(p_2: 3x + y + 8 = 0\)
Tâm I của đường tròn có tọa độ là nghiệm của hệ:
\((I) \begin{cases}x – 3y – 8 = 0\\4x + 3y – 2 = 0\end{cases}; II \begin{cases}3x + y + 8 = 0\\4x + 3y – 2 = 0\end{cases}\)
Hệ (I) cho ta nghiệm là \(I_1(2; -2)\)
Hệ (II) cho ta nghiệm là \(I_2(-4; 6)\)
Ta có bán kính R là khoảng cách từ I đến một cạnh, tức là đến đường thẳng \(d_1\) (hoặc \(d_2\)) nên:
– Với tâm \(I_1(2; -2) ⇒ R_1 = \frac{|2 – 2 + 4|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\)
Và được đường tròn \((C_1): (x – 2)^2 + (y + 2)^2 = 8\)
– Với tâm \(I_2(-4; 6) ⇒ R_2 = \frac{|-4 + 6 + 4|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)
Và được đường tròn \((C_2): (x + 4)^2 + (y – 6)^2 = 18\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 8 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10 Thuộc Ôn Tập Cuối Năm Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời