Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Bài 2: Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ
Bài Tập 9 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Chứng minh rằng \(\)\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
– \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (quy tắc ba điểm)
– \(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\) (quy tắc trừ)
Ta chứng minh hai mệnh đề.
a. Cho \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) thì AD và BC có trung điểm trùng nhau.
Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\)
\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{ID}\)
Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{ID}\)
\(⇒ \overrightarrow{AI} – \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} – \overrightarrow{IB}\)
\(⇒ \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\) (1)
Vì I là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{ID} = \vec{0} ⇔ \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \vec{0}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \vec{0} ⇔ \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\) (3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.
b. AD và BC có cùng trung điểm I, ta chứng minh \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
I là trung điểm của \(AD ⇔ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{ID} = \vec{0} ⇒ \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \vec{0} ⇒ \overrightarrow{AI} – \overrightarrow{ID} = \vec{0}\)
I là trung điểm của \(BC ⇔ \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} ⇒ \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \vec{0} ⇒ \overrightarrow{CI} – \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AI} – \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} – \overrightarrow{IB}\)
\(⇒ \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{ID} ⇒ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) (đpcm)
Cách khác
Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{ID} = \vec{0}, \overrightarrow{JB} + \overrightarrow{JC} = \vec{0}\)
Mà theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ}\)
\(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{ID} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CJ}\)
\(⇒ \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{ID} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CJ}\)
\(= (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{ID}) + (\overrightarrow{JB} + \overrightarrow{JC}) + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})\)
\(= \vec{0} + \vec{0} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\)
\(= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} ⇔ \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{CD} = \vec{0}\)
\(⇔ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \vec{0} ⇔ \overrightarrow{IJ} = \vec{0}\)
\(⇔ I ≡ J\) hay trung điểm AD và BC trùng nhau (đpcm).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 9 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 2: Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ Thuộc Chương I: Vectơ Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời