Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y = \frac{(m + 1)x – 2m + 1}{x – 1}\) (m là tham số) có đồ thị là G.
a. Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm \((0; -1)\).
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm \((0; -1)\).
Phương pháp giải: \(y = f(x)\). Thay \(x = 0, y = -1\) vào biểu thức trên để tìm m.
Giải: Theo đề bài ta có \((0; -1) ∈ (G) ⇔ -1 = \frac{(m + 1).0 – 2m + 1}{0 – 1}\)
\(⇔ -1 = 2m – 1 ⇔ 2m = 0 ⇔ m = 0.\)
Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
Phương pháp giải: Thay giá trị m đã tìm được ở câu a vào đồ thị hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Giải: Với \(m = 0\) ta được hàm số \(y = \frac{x + 1}{x – 1} (G_0)\)
Tập xác định: D = R\{1}
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = \frac{-2}{(x + 1)} < 0; ∀x ∈ D\)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-∞; 1)\) và \((1; +∞)\)
– Cực trị: Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x → ±∞}y = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → 1^-}y = -∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → 1^+}y = +∞\)
Tiệm cận đứng là: \(x = 1\), tiệm cận ngang là: \(y = 1\)
– Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao trục Ox tại \((-1; 0)\), trục Oy tại \((0; -1)\)
Đồ thị hàm số nhận \(I(1; 1)\) làm tâm đối xứng.
Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Phương pháp giải: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có M tung độ \(y = y_0 ⇒ M(0; y_0)\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M(x_0; y_0)\) bằng công thức: \(y = y'(x_0)(x – x_0) + y_0\).
Giải: \((G_0)\) cắt trục tung tại \(M(0; -1)\)
\(y’ = \frac{-2}{(x – 1)^2} ⇒ y'(0) = -2\)
Phương trình tiếp tuyến của \((G_0)\) tại M là: \(y – (-1) = y'(0)(x – 0) ⇔ y = -2x – 1\)
Với câu a bài 9, bài yêu cầu tim m để đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước, rất đơn giản bằng cách ta chỉ cần thay toạ độ điểm đó vào hàm số tương ứng y là tung độ, x là hoành độ, sau đó ta giải phương trình và tim tham số m.
Với câu b, thay giá trị m vào hàm số ta sẽ có một hàm số cụ thể và từng bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốnày.
Với câu c, ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại tiếp điểm \(M(x_0, y_0)\) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng:
\(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\)
Như vậy trong câu c, các em cần phải xác định được tọa độ tiếp điểm. Trong khi đó theo đề bài đã cho, tiếp điểm là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung nên ta cho \(x = 0\) thay vào hàm số tìm được y, ta có tọa độ tiếp điểm.
Câu a: Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm \((0; -1)\).
Ta có đồ thị hàm số đi qua \((0; -1) ∈ (G) ⇔ -1 = \frac{(m + 1).0 – 2m + 1}{0 – 1} ⇔ m = 0\)
Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
Với m = 0 ở câu a, ta có hàm số \(y = \frac{x + 1}{x – 1}\)
Ta có tập xác định: D = R\{1}
Giới hạn và tiệm cận của hàm số:
\(\mathop {\lim }\limits_{x → 1^-}y = \mathop {\lim }\limits_{x → 1^-}\frac{x + 1}{x – 1} = -∞; \mathop {\lim }\limits_{x → 1^+}y = \mathop {\lim }\limits_{x → 1^+}\frac{x + 1}{x – 1} = +∞\) ⇒ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → -∞}\frac{x + 1}{x – 1} = 1; \mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → +∞}\frac{x + 1}{x – 1} = 1\) ⇒ nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Sự biến thiên của hàm số:
Tính đạo hàm: \(y’ = -\frac{2}{(x – 1)^2} < 0, ∀x ≠ 1.\)
Bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-∞; 1); (1; +∞).\)
Cực trị của hàm số là không có:
Đồ thị của hàm số:
- Đồ thị của hàm số nhận điểm \(I(1; 1)\) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm \((-1; 0)\), cắt Oy tại điểm \((0; -1)\).
- Với x = 2 suy ra y = 3.
- Với x = 3 suy ra y = 2.
Đồ thị của hàm số:
Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm M(0;1).
Ta có: \(y’ = \frac{-2}{(x – 1)^2} ⇒ y'(0) = -2\).
Như vậy phương trình tiếp tuyến của tại M là: \(y-(-1) = y'(0)(x – 0) ⇔ y = -2x – 1\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời