Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng – Hình Học Lớp 10
Bài 3: Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Và Giải Tam Giác
Bài Tập 9 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
Cho hình bình hành \(\)\(ABCD\) có \(AB = a, BC = b, BD = m\) và \(AC = n\). Chứng minh rằng \(m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\).
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
Công thức đường trung tuyến: \(m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) – a^2}{4}\)
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.
Áp dụng định lí về đường trung tuyến:
\(AO^2 = \frac{2(a^2 + b^2) – m^2}{4}\)
Mà O là trung điểm AC nên \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{n}{2}\)
Thay \(OA = \frac{n}{2}, AB = a, AD = BC = b\) và \(BD = m\) ta được:
\((\frac{n}{2})^2 = \frac{2(a^2 + b^2) – m^2}{4}\)
\(⇔ \frac{n^2}{4} = \frac{2(a^2 + b^2) – m^2}{4}\)
\(⇔ n^2 = 2(a^2 + b^2) – m^2\)
\(⇔ m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\)
Cách 2:
Áp dụng định lý đường trung tuyến cho tam giác ABC có BO là đường trung tuyến ra có:
\(BO^2 = \frac{2(BA^2 + bC^2) – AC^2}{4}\)
\(⇔ (\frac{m}{2})^2 = \frac{2(a^2 + b^2) – n^2}{4}\)
\(⇔ m^2 = 2(a^2 + b^2) – n^2\)
\(⇔ m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\)
Cách 3:
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABC có:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2AB.BCcos\widehat{ABC}\)
\(⇒ n^2 = a^2 + b^2 – 2abcos\widehat{ABC}\)
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABD có:
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2AB.ADcos\widehat{BAD}\)
\(⇒ m^2 = a^2 + b^2 – 2abcos\widehat{BAD}\)
\(⇒ m^2 + n^2\)
\(= (a^2 + b^2) – 2abcos\widehat{ABC} + (a^2 + b^2) – 2abcos\widehat{BAD}\)
\(= 2(a^2 + b^2) – 2ab(cos\widehat{ABC} + cos\widehat{BAD})\)
Mà \(\widehat{ABC} + \widehat{BAD} = 180^0 ⇒ cos\widehat{ABC} = -cos(180^0 – \widehat{ABC}) = -cos\widehat{BAD}\)
\(⇒ cos\widehat{ABC} + cos\widehat{BAD} = 0\)
Vậy \(m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\)
Xét \(ΔABC:BO\) là đường trung tuyến:
\(BO^2 = \frac{2(AB^2 + BC^2) – AC^2}{4} = \frac{2(a^2 + b^2) – n^2}{4}\)
\(⇒ 4BO^2 = 2(a^2 + b^2) – n^2\)
Mặt khác: \(BO = \frac{1}{2}BD = \frac{m}{2}\)
Khi đó: \(4.(\frac{m}{2})^2 = 2(a^2 + b^2) – n^2\)
\(⇒ m^2 = 2(a^2 + b^2) – n^2 ⇒ m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 9 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 3: Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Và Giải Tam Giác Thuộc Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 60 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 60 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời