Chương I: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông – Hình Học Lớp 9 – Tập 1
Giải Bài Tập SGK: Bài 1 Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông
Bài Tập 9 Trang 70 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
a. Tam giác DIL là một tam giác cân:
b. Tổng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 70 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
– Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\) để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.
Giải:
Câu a: BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông) Suy ra \(\)\(\widehat{DCL} = 90^0\)
Xét ΔADI và ΔCDL có:
\(\widehat{IAD} = \widehat{LCD} (= 90^0)\), AD = CD (ABCD là hình vuông), \(\widehat{ADI} = \widehat{CDL}\) (cùng phụ với góc \(\widehat{IDC}\))
Do đó ΔADI = ΔCDL (g.c.c)
Suy ra: DI = DL
Suy ra: ΔDIL là tam giác cân tại D.
Câu b: ΔDLK vuông tại D, DC là đường cao nên \(\frac{1}{DL^2} + \frac{1}{DK^2} = \frac{1}{DC^2}\)
Do đó: \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2} = \frac{1}{DC^2}\) không thay đổi.
Cách giải khác:
Bài 9 này ta sẽ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và các định lí hình học để chứng minh bài toán.
Chứng minh câu a.
Ta có: \(\widehat{ADI} = \widehat{IKB}\) (so le trong)
\(\widehat{CDL} = \widehat{IKB}\) (vì cùng phụ với góc L)
Vậy \(\widehat{CDL} = \widehat{ADI}\)
Xét hai tam giác vuông IAD và LCD có:
\(\widehat{IAD} = \widehat{LCD} = 90^0\)
AD = CD
\(\widehat{CDL} = \widehat{ADI}\)
Vậy ΔIAD = ΔLCD (g.c.g)
⇒ ID = DL
Vậy tam giác DIL vuông tại D.
Chứng minh câu b.
Ta có:
\(DI = DL ⇒ \frac{1}{DI^2} = \frac{1}{DL^2}\)
Xét tam giác DKL vuông tại D có đường cao DC, ta có:
\(\frac{1}{CD^2} = \frac{1}{DL^2} + \frac{1}{DK^2}\)
Theo cmt, ta viết lại là:
\(\frac{1}{CD^2} = \frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\)
Mà hình vuông ABCD cố định nên CD không đổi, vậy:
\(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\) luôn không đổi khi I thay đổi trên AB!
Hướng dẫn làm bài tập 9 trang 70 sgk hình học lớp 9 tập 1 bài 1 một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chương I. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
- Bài Tập 2 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
- Bài Tập 3 Trang 69 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
- Bài Tập 4 Trang 69 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
- Bài Tập 5 Trang 69 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
- Bài Tập 6 Trang 69 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
- Bài Tập 7 Trang 69 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
- Bài Tập 8 Trang 70 SGK Hình Học Lớp 9 – Tập 1
Trả lời