Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 10
Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 9 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Cho elip (E) có phương trình: \(\)\(\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1\).
a. Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip (E) và vẽ elip đó.
b. Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dại đoạn MN.
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip (E) và vẽ elip đó.
Ta có: \(a^2 = 100 ⇒ a = 10\)
\(b^2 = 36 ⇒ b = 6\)
\(c^2 = a^2 – b^2 = 64 ⇒ c = 8\)
Từ đó ta được:
– Tọa độ các đỉnh: \(A_2(-10; 0), A_2(10; 0), B_1(0; -3), B_2(0; 3)\)
– Tọa độ các tiêu điểm: \(F_1(-8; 0), F_2(8; 0)\)
Câu b: Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dại đoạn MN.
Gọi d là đường thẳng đi qua \(F_2(8; 0)\) và song song Oy.
Khi đó \(d: x = 8\)
\(M = d ∩ (E)\)
\(⇒ \begin{cases}x = 8\\\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x = 8\\\frac{64}{100} + \frac{y^2}{36} = 1\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x = 8\\\frac{y^2}{36} = \frac{9}{25}\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x = 8\\y^2 = \frac{324}{25}\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x = 8\\y = ±\frac{18}{5}\end{cases}\)
Do đó có hai giao điểm của d với (E) là \(M(8; \frac{18}{5}), N(8; -\frac{18}{5})\)
\(MN = \sqrt{(8 – 8)^2 + (-\frac{18}{5} – \frac{18}{5})^2} = \frac{36}{5}\)
Cách khác
Ta có: \(M ∈ (E) ⇒ MF_1 + MF_2 = 2a = 20 (1)\)
\(MN // Oy ⇒ MN ⊥ F_1F_2 ⇒ ΔMF_2F_2\) vuông tại \(F_2\)
Theo định lý Pitago ta có:
\(MF_1^2 – MF_2^2 = F_1F_2^2 = (2c)^2 = 16^2\)
\(⇒ (MF_1 – MF_2)(MF_1 + MF_2) = 16^2\)
Mà \(MF_1 + MF_2 = 20\) nên
\((MF_1 – MF_2).20 = 16^2\)
\(⇔ MF_1 – MF_2 = \frac{16^2}{20} = \frac{64}{5} (2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\begin{cases}MF_1 + MF_2 = 20\\MF_1 – MF_2 = \frac{64}{5}\end{cases} ⇔ \begin{cases}MF_1 = \frac{82}{5}\\MF_2 = \frac{18}{5}\end{cases}\)
\(⇒ MN = 2MF_2 = 2.\frac{18}{5} = \frac{36}{5}\)
Câu a: Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip (E) và vẽ elip đó.
Ta có phương trình chính tắc của elip: \(\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1\)
Ta có: \(\)\(a^2 = 100; b^2 = 36\) và \(c^2 = a^2 – b^2 = 64\)
Suy ra: \(a = 10; b = 6\) và \(c = 8\)
Tọa độ các đỉnh:
\(A_1(-10; 0), A_2(10; 0), B_1(0; -6), B_2(0; 6)\)
Tọa độ các tiêu điểm: \(F_1(-8; 0), F_2(8; 0)\)
Câu b: Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dại đoạn MN.
Đường thẳng đi qua tiêu điểm \(F_2\), song song Oy có phương trình: \(x – 8 = 0\)
Tọa độ của M, N là nghiệm của hệ \(\begin{cases}x – 8 = 0\\ 36x^2 + 100y^2 = 3600\end{cases} ⇔ \begin{cases}x = 8\\ y = ±\frac{18}{5}\end{cases}\)
Độ dại đoạn thẳng \(MN = \frac{36}{5}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 9 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10 Thuộc Ôn Tập Cuối Năm Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời