Logarit tự nhiên online là bảng tính giúp bạn hoàn thành các phép toán nhanh và dễ dàng nhất. Giờ đây, bạn có thể giải các bài toán logarit tự nhiên tại HocTapHay.Com bằng bảng tính trực tuyến, ngoài ra ôn lại định nghĩa, tính chất, và Logarit tự nhiên trong giải tích.
Hãy Đưa Ra 1 Giá Trị
Đồ Thị Và Công Thức
\(y = lnx = log_ex … e^y = x\)
\(e ≐ 2,7183\)
\(e^{lnx} = lne^x = x\)
\(lnx = \frac{log_ax}{log_ae}\)
\(lnx = \frac{1}{log_xe}\)
\(ln(x . z) = lnx + lnz\)
\(ln\frac{x}{z} = lnx – lnz\)
\(lnx^r = r.lnx; lne^r = r\)
\(lne = 1; ln1 = 0\)
Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là: \(\)\(ln(x), log_e(x)\).
Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng x. Tức là \(ln(x) = a ⇔ e^a=x\). Ví dụ, ln(7.389) bằng 2 vì \(e^2 = 7.389…\) Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và logarit tự nhiên của 1 bằng 0.
Logarit tự nhiên được xác định với mọi số thực a (trừ số 0) là vùng dưới đồ thị \(y = \frac{1}{x}\) từ 1 đến a. Sự đơn giản của định nghĩa được sánh với các công thức khác kéo theo logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên”. Định nghĩa có thể được mở rộng đến số phức, được giải thích dưới đây.
Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có nghĩa của biến thực, là hàm số của hàm mũ. Điều này dẫn đến sự đồng nhất:
\(e^{ln(x)} = x\) khi \(x > 0\)
\(ln(e^x) = x\)
Như tất cả các logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành cộng:
\(ln(xy) = ln(x) + ln(y)\)
Do đó, hàm số logarit là một hàm số đơn điệu đi từ tập số thực dương dưới phép nhân vào tập số thực dưới phép cộng. Được miêu tả: ln: \(R^+ = → R\).
Định Nghĩa Logarit Tự Nhiên
ln(x) được định nghĩa chính là diện tích dưới đường cong \(f(x) = \frac{1}{x}\) từ 1 đến x, gần giống như tích phân.
\(ln(a) = \int_1^a \frac{1}{x}dx\)
Điều này định nghĩa một logarit vì nó đáp ứng các đặc tính cơ bản của một logarit:
\(ln(ab) = ln(a) + ln(b)\)
Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép: \(t = \frac{x}{a}\) như sau:
\(ln(ab) = \int_{1}^{ab} \frac{1}{x}dx = \int_{1}^{a} \frac{1}{x}dx + \int_{a}^{ab}\frac{1}{x}dx\)
\(= \int_{1}^{a}\frac{1}{x}dx + \int_{1}^{b}\frac{1}{t}dt = ln(a) + ln(b)\)
Số e sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln(a) = 1.
Ngoài ra, nếu hàm số mũ được định nghĩa bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được định nghĩa là hàm ngược của nó, tức ln là hàm số sao cho \(e^{ln(x)} = x\). Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối số thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ là hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cả số dương x.
Tính Chất Logarit Tự Nhiên
- \(ln(1) = 0\)
- \(ln(-1) = iπ\)
- \(ln(x) < ln(y), 0 < x < y\)
- \(\frac{h}{1 + h} ≤ ln(1 + h) ≤ h, h > 1\)
- \(\lim_{x → 0}\frac{ln(1 + x)}{x} = 1\)
Logarit Tự Nhiên Trong Giải Tích
Logarit tự nhiên thừa nhận hàm số của giải tích đơn giản theo dạng: \(g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\): một nguyên hàm của g(x) được cho bởi \(ln(|f(x)|)\). Đó là một trường hợp bởi vì những quy tắc của chuỗi và thực tế sau đây:
\(\frac{d}{dx}(ln|x|) = \frac{1}{x}\)
cách khác
\(\int \frac{1}{x}dx = ln|x| + C\)
và
\(\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = ln|f(x)| + C\)
Đây là một ví dụ trong trường hợp của \(g(x) = tan(x)\):
\(\int tan(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx\)
\(\int tan(x)dx = \int \frac{-\frac{d}{dx}cos(x)}{cos}dx\)
Đặt \(f(x) = cos(x)\) và \(f'(x)= – sin(x)\):
\(\int tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C\)
\(\int tan(x)dx = ln|sin(x)| + C\)
với C là một hằng số tùy ý của tích phân.
Logarit tự nhiên có thể được tích hợp bằng cách sử dụng tích phân của các bộ phận:
\(\int ln(x)dx = xln(x) – x + C\)
Giá Trị Số Logarit Tự Nhiên
Để tính giá trị số logarit tự nhiên của một số, dãy số Taylor mở rộng có thể được viết lại như sau:
\(ln(1 + x) = x(\frac{1}{1} – x (\frac{1}{2} – x (\frac{1}{3} – x (\frac{1}{4} – x (\frac{1}{5} – …))))) for |x| < 1.\)
Để đạt được tốc độ tốt hơn của độ hội tụ, tính đồng nhất sau đây có thể được sử dụng:
\(ln(x) = ln(\frac{1 + y}{1 – y}) = 2y(\frac{1}{1} + \frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{5}y^4 + \frac{1}{7}y^6 + \frac{1}{9}y^8 + …)\)
\(= 2y(\frac{1}{1} + y^2 (\frac{1}{3} + y^2 (\frac{1}{5} + y^2 (\frac{1}{7} + y^2 (\frac{1}{9} + …)))))\)
với \(y = \frac{x – 1}{x + 1}\) và \(x > 0\).
Cho ln(x) vào x >1, giá trị của x càng gần 1, tốc độ của sự hội tụ càng nhanh. Những sự đồng nhất kết hợp với logarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điều này:
\(ln(123.456) = ln(1.23456 × 10^2)\)
\(= ln(1.23456) + ln(10^2)\)
\(= ln(1.23456) + 2 × ln(10)\)
\(≈ ln(1.23456) + 2 × 2.3025851\)
Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằng cách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác như trên.
Độ Chính Xác Cao
Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác, hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quả vì sự hội tụ rất chậm. Vì vậy, các nhà toán học đã thay thế hướng này và sử dụng phương pháp Newton để đảo ngược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn.
Cách tính khác cho kết quả có độ chính xác khá cao là công thức:
\(lnx ≈ \frac{π}{2M(\frac{1,4}{s})} – mln2\)
với M là dãy truy hồi giữa trung bình cộng và trung bình nhân của 1 và \(\frac{4}{s}\) và:
\(s = x2^m > 2^{\frac{p}{2}}\)
với m được chọn sao cho p đạt đến sự chính xác. (Đối với hầu hết các kết quả, giá trị 8 của m là đúng.) Trong thực tế, nếu phương pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo Newton đối với logarit tự nhiên có thể được tính toán hàm mũ có hiệu quả. (Hằng số ln2 và pi có thể được tính toán trước với độ chính xác mong muốn để sử dụng nhiều dãy số cho trước một cách nhanh chóng.)
Phép Tính Liên Quan
Logarit Nhị Phân Online Logarit Tự Nhiên Online Logarit Thập Phân Online
Bình Luận Mới Nhất