Đa Giác Đều

Công thức tính diện tích đa giác đều là $$S = \frac{1}{4}na^2cot\frac{π}{n}$$, khi đó công thức tính chu vi đa giác đều là $$P = n × a$$. Giờ đây, cách tính diện tích và chu vi đa giác đều online với bảng tính trực tuyến của HocTapHay.Com nhanh và chính xác nhất.

Đa giác đều trong hình học Euclid là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau. Đa giác đều được chia làm hai loại là: đa giác lồi đều và đa giác sao đều.

$$S = \frac{1}{4}na^2cot\frac{π}{n}$$

$$P = n × a$$

$$R = \frac{a}{2.sin\frac{π}{n}}$$

$$r = \frac{a}{2.tan\frac{π}{n}}$$

Trong đó:

  • P: chu vi
  • S: diện tích
  • R: bán kính K
  • r: bán kính k
  • n: số cạnh
  • S’: tâm
  • a: các cạnh
  • K: đường tròn ngoại tiếp
  • k: đường tròn nội tiếp

Tính Chất Của Đa Giác Đều

Tính chất của đa giác đều bao gồm tính chất tổng quát và tính đối xứng:

Tính chất tổng quát

– Các tình chất này được áp dụng cho cả hình đa giác lồi đều và hình đa giác sao đều.

– Tất cả các đỉnh của đa giác đều đều nằm trên một đường tròn. Chúng là các điểm đồng viên. Tất cả các đa giác đều đều có một đường tròn ngoại tiếp.

– Cũng với tính chất độ dài các cạnh của đa giác đều thì bằng nhau, kéo theo rằng tất cả các đa giác đều đều có các đường tròn nội tiếp.

– Một đa giác đều n cạnh có thể được dựng bằng compa và thước kẻ khi và chỉ khi các thừa số nguyên tố lẻ của n khác số nguyên tố Fermat.

Tính đối xứng: Nhóm đối xứng của đa giác đều là hình vuông $$D_2, D_3, D_4,…$$ Nó bao gồm sự quay quanh tâm $$C_n$$ (tâm đối xứng), cùng với tính đối xứng của n trục đi qua tâm này. Nếu n là chẵn thì một nửa số trục đối xứng đi qua hai đỉnh đối nhau của đa giác và nửa còn lại đi qua trung điểm của hai cạnh đối. Nếu n là lẻ thì tất cả các trục đới xứng đều đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh ấy.

Đa Giác Lồi Đều

Tất các đa giác đơn đều (một đa giác đơn là một đa giác mà không tự cắt)là các đa giác lồi đều. Các đa giác mà có cùng số đo các cạnh thì đồng dạng.

– Một đa giác lồi đều n cạnh được chỉ rõ bởi công thức Schläfli của nó: {n}.

– Đa giác đều 1 đỉnh: suy biến trong không gian bình thường

– Nhị giác đều: một “đoạn thẳng đôi” – suy biến trong không gian bình thường

– Tam giác đều {3}

– Hình vuông {4}

– Ngũ giác đều {5}

– Lục giác đều {6}

– Thất giác đều {7}

– Bát giác đều {8}

– Cửu giác đều {9}

– Thập giác đều {10}

Trong một số hoàn cảnh các đa giác đã được xét đến đều là các đa giác đều. Trong nhiều trường người ta thường bỏ chữ đều đi. Ví dụ như mọi mặt của đa diện đều có thể là các hình đa giác đều như: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, etc.

Góc: Với một đa giác đều n đỉnh, số đo góc trong được tính bằng công thức:

$$(1 – \frac{2}{n}) × 180$$  (hay bằng với $$(n – 2) × \frac{180}{n})$$ độ, hay $$\frac{(n – 2)π}{n}$$ độ radian, hay $$\frac{(n – 2)}{2n}$$ tính theo vòng, và với mỗi góc ngoài (kề bù với góc trong)được tính theo công thức $$\frac{360}{n}$$

độ, với tổng của các góc ngoài bằng 360 độ hay 2π độ radian hay vòng quay.

Đường chéo:

Với n > 2 số đường chéo là $$\frac{\frac{n(n – 3)}{2}}{n} = 0, 2, 5, 9,…$$ Chúng chia đa giác thành 1, 4, 11, 24,… phần.

Diện tích:

Diện tích A của đa giác lồi đều n cạnh là:

theo độ $$A = \frac{t^2n}{4tan(\frac{180}{n})}$$

hay theo độ radian $$A = \frac{t^2n}{4tan(\frac{π}{n})}$$, với t là độ dài của một cạnh.

Nếu biết bán kính, hay độ dài đoạn thẳng nối tâm với một đỉnh, diện tích là:

tính theo độ $$A = \frac{nr^2sin(\frac{360}{n})}{2}$$

hay theo độ radian $$A = \frac{nr^2sin(\frac{2π}{n})}{2}$$, với r là độ lớn của bán kính.

Đồng thời, diện tích cũng bằng nửa chu vi nhân với độ dài của trung đoạn, a, (đoạn vuông góc hạ từ tâm của đa giác xuống một cạnh). Vì vây ta có $$A = \frac{a.n.t}{2}$$, với chu vi là n.t, và ở dạng đơn giản hơn

$$\frac{1}{2}p.a$$

Với cạnh t = 1, ta có:

theo độ $$\frac{n}{4tan(\frac{180}{n})}$$

hay theo độ radian (n ≠ 2) $$\frac{n}{4}cot(\frac{π}{n})$$

giá trị được viết trong bảng sau:

Số cạnh Tên hình Diện tích chính xác Xấp Xỉ
3 tam giác đều $$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 0.432
4 hình vuông $$1$$ 1.000
5 ngũ giác đều $$\frac{1}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}$$ 1.720
6 lục giác đều $$2 + 2\sqrt{2}$$ 2.598
7 thất giác đều 3.634
8 bát giác đều $$2 + 2\sqrt{2}$$ 4.828
9 cửu giác đều 6.182
10 thập giác đều $$\frac{5}{2}\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$$ 7.694
11 đa giác đều 11 đỉnh 9.366
12 đa giác đều 12 đỉnh $$6 + 3\sqrt{3}$$ 11.196
13 đa giác đều 13 đỉnh 13.186
14 đa giác đều 14 đỉnh 15.335
15 đa giác đều 15 đỉnh $$\frac{15}{4}\sqrt{7 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15 + 6\sqrt{5}}}$$ 17.642
16 đa giác đều 16 đỉnh $$4 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$$ 20.109
17 đa giác đều 17 đỉnh 22.735
18 đa giác đều 18 đỉnh 25.521
19 đa giác đều 19 đỉnh 28.465
20 đa giác đều 20 đỉnh $$5 + 5\sqrt{5} + 5\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$$ 31.569
100 đa giác đều 10 đỉnh 795.513
1000 đa giác đều 100 đỉnh 79577.210
10000 đa giác đều 10000 đỉnh 7957746.893

Đa Giác Sao Đều

Một đa giác đều không lồi là một đa giác sao đều. Ví dụ phổ biến nhất là hình sao 5 cánh, có cùng số đỉnh với ngũ giác đều, nhưng có cách nối các đỉnh khác.

Với một đa giác sao n cạnh, công thức Schläfli được sửa cho phù hợp với dạng hình sao m của đa giác, ví dụ như nm𝑛𝑚. Nếu m bằng 2, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 2 đỉnh. Nếu m bằng 3, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 3 đỉnh. Đường biên của đa giác đi quanh tâm m lần, và m đôi khi còn được gọi là mật độ của đa giác sao đều.

Ví dụ:

– Sao 5 cánh đều là $${\frac{5}{2}}$$

– Sao 7 cánh đều là $${\frac{7}{2}}$$ và $${\frac{7}{3}}$$

– Sao 8 cánh đều là $${\frac{8}{3}}$$

– Sao 9 cánh đều là $${\frac{9}{2}}$$ và $${\frac{9}{4}}$$

– Sao 10 cánh đều là $${\frac{10}{3}}$$

– Sao 11 cánh đều là $${\frac{11}{2}}, {\frac{11}{3}}, {\frac{11}{4}}, {\frac{11}{5}}$$

m và n phải nguyên tố cùng nhau, hoặc hình sẽ suy biến. Phụ thuộc vào nguồn gốc rõ ràng của công thức Schläfli, có nhiều các ý kiến bất đồng về các hình suy biến.

Công Thức Tính Chu Vi Đa Giác Đều

Chu vi là tổng chiều dài các mặt ngoài của bất kỳ hình học phẳng. Để tính chu vi một đa giác đều, chu vi có thể được tính bằng cách nhân chiều dài một cạnh với số cạnh (n).

$$CTTQ: P = n × a$$

Các phép tính khác