Công thức Pythagoras là $$a^2 + b^2 = c^2$$, giờ đây các bạn có thể tính định lý Pythagoras online với bảng tính trực tuyến của HocvaHoi.com.
$$c^2 = a^2 + b^2$$
$$a = \sqrt{c^2 – b^2}$$
$$b = \sqrt{c^2 – a^2}$$
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Trong đó:
c: là độ dài cạnh huyền
a, b: là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn được gọi là cạnh kề.
Mở Đầu
Định lí Pytago là một định lí tuyệt đẹp của toán học. Con người đã phát hiện và chứng minh được nó cách này nhiều nghìn năm, từ khi toán học vừa mới hình thành. Về cách chứng minh định lí Pytago thì có đến hàng triệu cách. Cách cổ xưa nhất thuộc về Pytago. Cách chứng minh này được ghi lại trong tác phẩm kinh điển về hình học “Elements” của Euclide khoảng năm 300 TCN, song song đó, cách chứng minh khác cũng được tìm thấy trong một tài liệu về toán của Trung Quốc vào khoảng năm 500 đến năm 200 TCN. Về sau các nhà toán học đã không ngừng đưa ra nhiều cách chứng minh khác.
Để chứng minh định lí Pytago không khó. Trong chương trình hình học 7 đã trình bày cách chứng minh dựa vào việc đặt các tam giác vuông có cạnh a, b, c vào hình vuông có cạnh là a + b. Cách này giúp học sinh dễ dàng chứng minh được định lí Pytago. Ngoài ra còn nhiều cách khác cũng dựa vào ghép hình nhưng theo cách ghép khác, hoặc ứng dụng các tính chất diện tích của đa giác, ứng dụng tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông, …
Trong chuyên đề nhỏ này, tôi xin giới thiệu đến quý thầy cô một số cách chứng minh định lí Pytago mà tôi hoặc tìm ra được hoặc sưu tầm được, tuy số cách chứng minh còn ít rất nhiều so với số cách mà con người đã biết nhưng với số cách chứng minh này cũng đối với tôi cũng là một gia tài kha khá. Hy vọng chuyên đề sẽ đem đến cho quý thầy cô nhiều điều thú vị, từ đó vận dụng vào bài giảng của mình nhằm tăng hứng thú học tập môn toán cho học sinh.
Vài Nét Về Lịch Sử Của Định Lý Pythagoras
Trong toán học, định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagore theo tiếng Pháp hay định lý Pythagorastes theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của một tam giác vuông. Định lý này được đặt tên theo nhà vật lí học và nhà toán học Hy Lạp Pytago sống vào thế kỷ 6 TCN.
Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pytago được cho là nằm trong quyển Chu Bể toán kinh (Trung Quốc) khoảng năm 500 đến 200 TCN và Elements của Euclide khoảng năm 300 TCN.
Sự liên hệ giữa các cạnh của một tam giác vuông đã được nêu ra trước Pytago khoảng 1200 năm vào thời cổ Babilon. Nhưng Pytago là người đã chứng minh nó và mở rộng phạm vi áp dụng của nó để giải nhiều bài toán về lí thuyết và thực tiễn. Định lí Pytago là chìa khóa để xây dựng nhiều định lí khác trong hình học.
Trong tác phẩm Elements, Euclide trình bày định lí Pytago như sau: “Trong một tam giác vuông, tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền”.
Về sau, người ta nhận thấy diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó nên phát biểu lại: “Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông” như chúng ta đã biết ngày nay.
Chứng Minh Của Pythagoras
Định lý Pythagoras đã được biết đến từ lâu trước thời Pythagoras, nhưng ông được coi là người đầu tiên nêu ra chứng minh định lý này. Cách chứng minh của ông rất đơn giản, chỉ bằng cách sắp xếp lại hình vẽ.
Trong hai hình vuông lớn ở hình minh họa bên trái, mỗi hình vuông chứa bốn tam giác vuông bằng nhau, sự khác nhau giữa hai hình vuông này là các tam giác vuông được bố trí khác nhau. Do vậy, khoảng trắng bên trong mỗi hình vuông phải có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ, hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép rút ra được kết luận của định lý Pythagoras, điều phải chứng minh.
Về sau, trong tác phẩm của nhà triết học và toán học Hy Lạp Proclus đã dẫn lại chứng minh rất đơn giản của Pythagoras. Các đoạn dưới đây nêu ra một vài cách chứng minh khác, nhưng cách chứng minh ở trên thuộc về Pythagoras.
Những Dạng Khác Của Định Lý Pythagoras
Như đã nhắc đến ở đoạn giới thiệu, nếu c ký hiệu là chiều dài của cạnh huyền và a và b ký hiệu là chiều dài của hai cạnh kề, định lý Pythagoras có thể biểu diễn bằng phương trình Pythagoras:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Nếu đã biết chiều dài cả a và b, thì cạnh huyền c tính bằng
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Nếu biết độ dài của cạnh huyền c và một trong các cạnh kề (a hoặc b), thì độ dài của cạnh kề còn lại được tìm bằng công thức: $$a = \sqrt{c^2 – b^2}$$ hoặc $$b = \sqrt{c^2 – a^2}$$.
Phương trình Pythagoras cho liên hệ các cạnh của một tam giác vuông theo cách đơn giản, do đó nếu biếu chiều dài của hai cạnh bất kỳ thì sẽ tìm được chiều dài của cạnh còn lại. Một hệ quả khác của định lý đó là trong bất kỳ tam giác vuông nào, cạnh huyền luôn lớn hơn hai cạnh kia, nhưng bé hơn tổng của hai cạnh.
Định lý khái quát định lý này cho tam giác bất kỳ này đó là định lý cos, cho phép tính chiều dài của một cạnh khi biết chiều dài của hai cạnh kia cũng như góc tạo bởi hai cạnh này. Nếu góc giữa hai cạnh này là góc vuông, định lý cos sẽ trở về trường hợp đặc biệt đó là định lý Pythagoras.
Các Chứng Minh Khác Về Định Lý Pythagoras
Định lý này có thể coi là định lý có nhiều cách chứng minh nhất (luật tương hỗ bậc hai là một định lý khác có nhiều cách chứng minh); trong cuốn sách The Pythagorean Proposition nêu ra 370 cách chứng minh cho định lý Pythagoras.
Chứng Minh Sử Dụng Các Tam Giác Đồng Dạng
Chứng minh này dựa trên sự tỉ lệ thuận của các cạnh của hai tam giác đồng dạng, tức là nó dựa trên tỉ số của hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là như nhau với kích thước của tam giác là bất kỳ.
Gọi ACB là một tam giác vuông, với góc vuông nằm tại đỉnh A, như ở hình bên. Vẽ đường cao tam giác từ điểm C, và gọi H là chân đường cao nằm trên cạnh AB. Điểm H chia chiều dài cạnh huyền c thành hai đoạn AH và BH. Tam giác mới ACH đồng dạng với tam ABC, bởi vì chúng đều có góc vuông (như theo định nghĩa của đường cao), và có chung góc tại đỉnh A, điều này có nghĩa rằng góc thứ ba còn lại cũng bằng nhau, ký hiệu θ như trong hình. Lập luận tương tự, tam giác CBH cũng đồng dạng với tam giác ABC. Chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa trên mệnh đề về các góc trong tam giác: tổng các góc trong một tam giác bằng hai lần góc vuông, và tương đương với tiên đề về hai đường thẳng song song. Hai tam giác đồng dạng cho tỉ số của các cạnh tương ứng là bằng nhau:
$$\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC}$$ và $$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$$
Tỉ số thứ nhất bằng cosin của góc θ, và tỉ số thứ hai bằng sin của góc này.
Viết lại các tỉ số này
$$BC^2 = AB × BH và AC^2 = AB × AH$$
Cộng hai vế của hai đẳng thức
$$BC^2 + AC^2 = AB × BH + AB × AH = AB × (AH + BH) = AB^2$$
và cuối cùng thu được định lý Pythagoras:
$$BC^2 + AC^2 = AB^2$$
Có nhiều tranh luận xung quanh vai trò của chứng minh này trong lịch sử toán học. Câu hỏi đặt ra là tại sao Euclid đã không sử dụng chứng minh này mà ông đã nghĩ ra một cách khác. Một phỏng đoán cho rằng cách chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng bao gồm định lý về tỉ lệ, một chủ đề không được thảo luận cho đến tận khi ông viết cuốn Cơ sở (Elements), và định lý tỉ lệ cần được phát triển thêm ở thời điểm đó.
Chứng Minh Của Euclid
Tóm tắt nội dung chứng minh của Euclid nêu ra trong cuốn Elements. Hình vuông lớn (có cạnh là cạnh huyền) được chia thành hai hình chữ nhật bên trái và phải (xem hình).
Dựng một tam giác có diện tích bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật bên trái. Sau đó dựng tam giác khác có diện tích bằng một nửa hình vuông ở cạnh bên trái. Bước tiếp theo là chứng minh hai tam giác này bằng nhau, và do đó diện tích hình vuông bên trái bằng diện tích hình chữ nhật bên trái. Lập luận tương tự cho hình vuông bên phải và hình chữ nhật bên phải. Tổng diện tích hai hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông có cạnh là cạnh huyền, và chính bằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh kề. Chi tiết chứng minh như sau.
Gọi A, B, C là các đỉnh của một tam giác vuông, với góc vuông tại A. Hạ một đường thẳng từ A vuông góc với cạnh huyền. Đường thẳng này chia hình vuông dựng trên cạnh huyền làm hai hình chữ nhật, mà sẽ chứng minh là hai hình chữ nhật này lần lượt bằng diện tích với hai hình vuông trên hai cạnh góc vuông.
Để chứng minh chặt chẽ, đòi hỏi dựa trên bốn bổ đề cơ bản sau:
- Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau, và góc giữa hai cạnh này cũng bằng nhau, thì hai tam giác này bằng nhau (trường hợp cạnh-góc-cạnh).
- Diện tích tam giác bằng một nửa diện tích của hình bình hành có cùng đáy và chiều cao.
- Diện tích của hình chữ nhật bằng tích của hai cạnh kề nhau.
- Diện tích của hình vuông bằng bình phương cạnh của nó (hệ quả từ bổ đề 3).
Tiếp theo, mỗi hình vuông trên từng cạnh kề được liên hệ với một tam giác tương đẳng với nó, mà tam giác này lại có liên hệ tương đẳng với một hình chữ nhật vừa chia.
Chứng minh như sau:
- Gọi ABC là tam giác vuông với góc vuông CAB.
- Trên mỗi cạnh BC, AB, và CA, dựng ra các hình vuông tương ứng CBDE, BAGF, và ACIH. Việc dựng các hình vuông cũng đòi hỏi trực tiếp các định lý trước đó nêu ra trong cuốn sách của Euclid, và chỉ phụ thuộc vào tiên đề đường thẳng song song.
- Từ đỉnh A, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh BD và CE. Nó sẽ vuông góc với BC và DE và cắt tại các điểm tương ứng K và L.
- Nối CF và AD, để tạo thành hai tam giác BCF và BDA.
- Góc CAB và BAG đều là các góc vuông; do đó các điểm C, A, và G nằm trên cùng một đường thẳng. Tương tự đối với các điểm B, A, và H.
- Góc CBD và FBA đều là các góc vuông; suy ra góc ABD bằng góc FBC, do cả hai đều bằng tổng của một góc vuông với góc ABC.
- Vì AB bằng FB và BD bằng BC, do đó hai tam giác ABD và FBC bằng nhau.
- Vì A-K-L là đường thẳng song song với cạnh BD, do đó hình chữ nhật BDLK có diện tích bằng hai lần diện tích tam giác ABD bởi vì chúng có chung cạnh đáy BD và cùng đường cao BK, đường vuông góc với cạnh đáy và nối hai đường thằng song song BD và AL. (bổ đề 2)
- Do C nằm trên cùng đường thẳng với A và G, nên hình vuông BAGF có diện tích bằng hai lần diện tích tam giác FBC.
- Từ đó, hình chữ nhật BDLK có diện tích bằng diện tích hình vuông $$BAGF = AB^2$$.
- Tương tự, chứng minh được hình chữ nhật CKLE có diện tích bằng diện tích hình vuông $$ACIH = AC^2$$.
- Cộng hai kết quả lại, $$AB^2 + AC^2 = BD × BK + KL × KC$$
- Vì $$BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC$$
- Do đó, $$AB^2 + AC^2 = BC^2$$, vì CBDE là hình vuông.
Chứng minh này xuất hiện ở Định đề 47 trong tập 1 của cuốn Cơ sở của Euclid, chứng tỏ rằng diện tích của hình vuông trên cạnh huyền bằng tổng diện tích của hai hình vuông trên cạnh kề. Cách chứng minh này khác hẳn với chứng minh dựa trên các tam giác đồng dạng mà Pythagoras đã sử dụng để chứng minh định lý.
Các Chứng Minh Bằng Cách Chia Hình Và Sắp Xếp Lại
Ở trên đã thảo luận về chứng minh định lý Pythagoras dựa trên phương pháp sắp xếp lại hình. Ý tưởng tương tự cũng được sử dụng cho chứng minh mà miêu tả bằng ảnh động ở dưới bên trái, mà ban đầu có một hình vuông lớn với cạnh bằng a + b, bên trong nó chứa bốn tam giác vuông bằng nhau. Sau đó ảnh động cho thấy các tam giác có hai cách sắp xếp vị trí khác nhau, cách đầu tiên thu được hai hình vuông có cạnh lần lượt là $$a^2$$ và $$b^2$$, cách thứ hai chỉ thu được một hình vuông có cạnh $$c^2$$. Bởi vì hình vuông bao ngoài không thay đổi, và diện tích của bốn tam giác là như nhau ở hai cách sắp xếp hình, do vậy các hình vuông màu đen sẽ phải có diện tích bằng nhau, cho nên $$a^2 + b^2 = c^2$$.
Cách chứng minh thứ hai bằng cách sắp xếp lại hình được minh họa ở ảnh động thứ hai. Một hình vuông lớn có diện tích $$c^2$$ được hình thành từ bốn tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và c bao quanh một hình vuông nhỏ ở trung tâm. Sau đó sắp xếp lại hình để thu được hai hình chữ nhật có các cạnh tương ứng a và b bằng cách di chuyển các tam giác. Kết hợp hình vuông nhỏ với hai hình chữ nhật này tạo thành hai hình vuông có diện tích tương ứng là $$a^2$$ và $$b^2$$, mà chúng phải có cùng diện tích với hình vuông lớn ban đầu.
Cách thứ ba được miêu tả ở ảnh động ngoài cùng. Hai hình vuông bên trên được chia thành các mảnh với màu lục và lam khác nhau, khi sắp xếp các mảnh này lại có thể đặt vừa vào trong hình vuông ở dưới với cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông – hoặc ngược lại, hình vuông lớn ở dưới có thể chia thành các mảnh nhỏ mà sau khi sắp xếp lại các mảnh nhỏ này có thể đặt vừa vào trong hai hình vuông nằm trên hai cạnh góc vuông. Cách cắt một hình thành các phần nhỏ và sắp xếp chúng lại để thu được một hình khác gọi là bài toán phân chia (dissection problem). Từ đó đi đến kết luận là diện tích của hình vuông lớn phải bằng tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ.
Chứng Minh Của Einstein Bằng Phân Tích Lập Luận
Albert Einstein lúc 11 tuổi đã đưa ra một chứng minh bằng cách phân chia mà không cần thiết phải di chuyển sắp xếp lại các hình. Thay vì sử dụng một hình vuông trên cạnh huyền và hai hình vuông trên hai cạnh kề, ông sử dụng một hình khác bao gồm cạnh huyền, và hai hình đồng dạng mà bao gồm một trong hai cạnh kề thay cho cạnh huyền. Trong chứng minh của Einstein, hình bao gồm cạnh huyền chính là tam giác vuông lớn ban đầu.
Thực hiện phân chia tam giác này bằng cách hạ đường cao từ đỉnh của góc vuông xuống cạnh huyền, chia tam giác vuông thành hai tam giác vuông nhỏ hơn. Hai tam giác vuông này đồng dạng với tam giác vuông ban đầu, và có cạnh huyền là cạnh góc vuông của tam giác ban đầu, và tổng diện tích của chúng bằng diện tích tam giác ban đầu. Bởi vì tỉ số diện tích của một tam giác vuông với diện tích của một hình vuông dựng trên cạnh huyền của nó là bằng nhau đối với các tam giác đồng dạng, mối liên hệ giữa diện tích của ba tam giác cũng thỏa mãn cho các hình vuông dựng tương ứng trên các cạnh của hình vuông lớn.
Định Lý Đảo
Định lý đảo của định lý Pythagoras cũng thỏa mãn:
Với ba số thực dương bất kỳ a, b, và c sao cho $$a^2 + b^2 = c^2$$, thì tồn tại một tam giác với ba cạnh tương ứng a, b và c, và mỗi tam giác như thế có một góc vuông giữa hai cạnh a và b.
Phát biểu khác của định lý đảo:
Với một tam giác bất kỳ có ba cạnh a, b, c, nếu $$a^2 + b^2 = c^2$$, thì góc giữa a và b bằng $$90^0$$.
Định lý đảo cũng được Euclid thảo luận trong cuốn Cơ sở (tập I, mệnh đề 48):
“Nếu trong một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại, thì góc tạo bởi hai cạnh này là góc vuông của tam giác.”
Có thể chứng minh định lý đảo Pythagoras bằng cách sử dụng định lý cos hoặc chứng minh như sau:
Gọi ABC là tam giác với các cạnh a, b, và c, với $$a^2 + b^2 = c^2$$. Dựng một tam giác thứ hai có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. Theo định lý Pythagoras thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$, và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất. Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa các cạnh a và b ở tam giác đầu tiên phải là góc vuông.
Chứng minh định lý đảo ở trên sử dụng chính định lý Pythagoras. Cũng có thể chứng minh định lý đảo mà không cần sử dụng tới định lý thuận.
Một hệ quả của định lý Pythagoras đảo đó là cách xác định đơn giản một tam giác có là tam giác vuông hay không, hay nó là tam giác nhọn hoặc tam giác tù. Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (nếu không sẽ không tồn tại tam giác vì đây chính là bất đẳng thức tam giác). Các phát biểu sau đây là đúng:
Nếu $$a^2 + b^2 = c^2$$, thì tam giác là tam giác vuông.
Nếu $$a^2 + b^2 > c^2$$, nó là tam giác nhọn.
Nếu $$a^2 + b^2 < c^2$$, thì nó là tam giác tù.
Edsger W. Dijkstra đã phát biểu mệnh đề về tam giác nhọn, vuông và tù bằng các ký hiệu như sau:
$$sgn(α + β − γ) = sgn(a^2 + b^2 − c^2)$$
với α là góc đối diện với cạnh a, β là góc đối diện với cạnh b, γ là góc đối diện với cạnh c, và sgn là hàm signum.