Bảng tính hàm lượng giác online giúp tính toán nhanh và chính xác các bài toán về hàm lượng giác. Giờ đây, bạn có thể tính hàm lượng giác trực tuyến tại HocVaHoi.Com, và ôn tập công thức và cách vẽ đồ thị.
Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Những định nghĩa hiện đại hơn thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kì.
Các hàm lượng giác không phải là các hàm số đại số và có thể xếp vào loại hàm số siêu việt.
Các Hàm Lượng Giác Cơ Bản
Ngày nay, chúng ta thường làm việc với sáu hàm lượng giác cơ bản, được liệt kê trong bảng dưới, kèm theo liên hệ toán học giữa các hàm.
| Hàm | Viết tắt | Liên hệ |
| Sin | sin | $$sinθ = cos(\frac{π}{2} – 0)$$ |
| Cosin | cos | $$cosθ = sin(\frac{π}{2} – θ)$$ |
| Tang | tan(tg) | $$tanθ = \frac{1}{cotθ} = \frac{sinθ}{cosθ} = cot(\frac{π}{2} – θ)$$ |
| Cotang |
cot(ctg) | $$cotθ = \frac{1}{tanθ} = \frac{cosθ}{sinθ} = tan(\frac{π}{2} – θ)$$ |
| Sec |
sec | $$secθ = \frac{1}{cosθ} = csc(\frac{π}{2} – θ)$$ |
| Cosec |
csc (hay cosec) | $$cscθ = \frac{1}{sinθ} = sec(\frac{π}{2} – θ)$$ |
Trong lịch sử, một số hàm lượng giác khác đã được nhắc đến, nhưng nay ít dùng là:
- versin (versin = 1 − cos)
- exsecant (exsec = sec − 1).
Định Nghĩa Bằng Tam Giác Vuông
Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng việc dựng nên một tam giác vuông chứa góc A. Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:
- Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất của tam giác vuông, h trên hình vẽ.
- Cạnh đối là cạnh đối diện với góc A, a trên hình vẽ.
- Cạnh kề là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, b trên hình vẽ.
Dùng hình học Ơclit, tổng các góc trong tam giác là pi radian (hay $$180^0$$). Khi đó:
| Hàm | Định nghĩa | Biểu thức |
| Sin | Cạnh đối chia cho cạnh huyền | $$sinA = \frac{a}{h}$$ |
| Cos | Cạnh kề chia cho cạnh huyền | $$cosA = \frac{b}{h}$$ |
| Tang | Cạnh đối chia cho cạnh kề | $$tanA = \frac{a}{b}$$ |
| Cotang | Cạnh kề chia cho cạnh đối | $$cotA = \frac{b}{a}$$ |
| Sec | Cạnh huyền chia cho cạnh kề | $$secA = \frac{h}{b}$$ |
| Cosec | Cạnh huyền chia cho cạnh đối | $$cscA = \frac{h}{a}$$ |
Định Nghĩa Bằng Chuỗi
Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại.
Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.
Trong bảng dưới, quy ước:
- $$E_n$$ là số Euler thứ n
- $$U_n$$ là số lên/xuống thứ n
| Hàm | Định nghĩa | Cụ thể |
| sin(x) | $$\sum_{n = 0}^∞ \frac{(-1)^nx^{2n + 1}}{(2n + 1)}!$$ | $$x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + …$$ |
| cos(x) | $$\sum_{n = 0}^∞ \frac{(n – 1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$ | $$1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + …$$ |
| tan(x) | $$\sum_{n = 1}^∞ \frac{2^{2n}(2^{2n} – 1)U_nx^{2n – 1}}{(2n)!}, |x| < \frac{π}{2}$$ | $$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + …$$ |
| cot(x) | $$\frac{1}{x} – \sum_{n = 1}^∞ \frac{2^{2n}U_nx^{2n – 1}}{(2n)!}, 0 < |x| < \frac{π}{2}$$ | $$\frac{1}{x} – \frac{x}{3} – \frac{x^3}{45} – \frac{2x^5}{945} – …$$ |
| sec(x) | $$1 + \sum_{n = 1}^∞ \frac{E_nx^{2n}}{(2n)!}, |x| < \frac{π}{2}$$ | $$1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + …$$ |
| csc(x) | $$\frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^∞ \frac{2(2^{2n – 1} – 1)B_nx^{2n – 1}}{(2n)!}, 0 < |x| < \frac{π}{2}$$ | $$\frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} + \frac{31x^5}{15120} + …$$ |
Định Nghĩa Bằng Phương Trình Vi Phân
Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân y” = -y
Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.
Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.
Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.
Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau: $$y’ = 1 + y^2$$ với điều kiện biên y(0) = 0.
Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k. Ví dụ, nếu x được tính bằng độ, k sẽ là: $$k = \frac{π}{180}$$
Lúc đó: $$f(x) = sin(kx); k ≠ 0, k ≠ 1$$ và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này: $$f'(x) = kcos(kx)$$
Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác.
Các Định Nghĩa Khác
Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác khác suy ra từ hai hàm này, có thể được định nghĩa là hàm sin và cos trong định lý sau:
Tồn tại duy nhất cặp hàm sin và cos trên trường số thực thỏa mãn:
$$sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1$$
$$sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$$
$$cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)$$
$$0 < xcos(x) < sin(x) < x$$ với mọi $$0 < x < 1$$
Ở đây x, y ∈ R
Phương Pháp Tính
Việc tính giá trị số cho các hàm lượng giác là bài toán phức tạp. Ngày nay, đa số mọi người có thể dùng máy tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá trị các hàm này. Dưới đây trình bày việc dùng bảng tính trong lịch sử để tra giá trị các hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày nay trong máy tính, và một số giá trị chính xác dễ nhớ.
Trước hết, việc tính giá trị các hàm lượng giác chỉ cần tập trung vào các góc nằm, ví dụ, từ 0 đến $$\frac{π}{2}$$,
vì giá trị của các hàm lượng giác ở các góc khác đều có thể được suy ra bằng tính chất tuần hoàn và đối xứng của các hàm.
Trước khi có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác bằng cách nội suy từ một bảng tính sẵn, có độ chính xác tới nhiều chữ số thập phân. Các bảng tính này thường được xây dựng bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, như công thức chia đôi góc, hay công thức cộng góc, bắt đầu từ một vài giá trị chính xác (như $$sin(\frac{π}{2}) = 1$$).
Các máy tính hiện đại dùng nhiều kỹ thuật khác nhau (Kantabutra, 1996). Một phương pháp phổ biến, đặc biệt cho các máy tính có các bộ tính số thập phân, là kết hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ) với các bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính tìm đến giá trị tính sẵn trong bảng nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, rồi dùng đa thức để sửa giá trị trong bảng về giá trị chính xác hơn. Trên các phần cứng không có bộ số học và Logic, có thể dùng thuật toán CORDIC (hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính hiệu quả hơn, vì thuật toán này chỉ dùng toán tử chuyển vị và phép cộng. Các phương pháp này đều thường được lắp sẵn trong các phần cứng máy tính để tăng tốc độ xử lý.
Đối với các góc đặc biệt, giá trị các hàm lượng giác có thể được tính bằng giấy và bút dựa vào định lý Pytago. Ví dụ như sin, cos và tang của các góc là bội của $$\frac{π}{60}$$ radian (3 độ) có thể tính được chính xác bằng giấy bút.
Một ví dụ đơn giản là tam giác vuông cân với các góc nhọn bằng $$\frac{π}{4}$$ radian (45 độ). Cạnh kề b bằng cạnh đối a và có thể đặt a = b = 1. Sin, cos và tang của $$\frac{π}{4}$$ radian (45 độ) có thể tính bằng định lý Pytago như sau:
$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2}$$
Nên:
$$sin(\frac{π}{4}) = sin(45^0) = cos(\frac{π}{4}) = cos(45^0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$tan(\frac{π}{4}) = tan(45^0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$$
Một ví dụ khác là tìm giá trị hàm lượng giác của $$\frac{π}{3}$$ radian (60 độ) và $$\frac{π}{6}$$ radian (30 độ), có thể bắt đầu với tam giác đều có các cạnh bằng 1. Cả ba góc của tam giác bằng $$\frac{π}{3}$$ radian (60 độ). Chia đôi tam giác này thành hai tam giác vuông có góc nhọn $$\frac{π}{6}$$ radian (30 độ) và $$\frac{π}{3}$$ radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông có cạnh ngắn nhất là $$\frac{1}{2}$$, cạnh huyền bằng 1 và cạnh còn lại bằng $$\frac{(\sqrt{3})}{2}$$. Như vậy:
$$sin(\frac{π}{6}) = sin(30^0) = cos(\frac{π}{3}) = cos(60^0) = \frac{1}{2}$$
$$cos(\frac{π}{6}) = cos(30^0) = sin(\frac{π}{3}) = sin(60^0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$tan(\frac{π}{6}) = tan(30^0) = cot(\frac{π}{3}) = cot(60^0) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Một Số Đẳng Thức
$$sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny$$
$$sin(x – y) = sinxcosy – cosxsiny$$
$$cos(x + y) = cosxcosy – sinxsiny$$
$$sinx + siny = 2sin(\frac{x + y}{2})cos(\frac{x – y}{2})$$
$$sinx – siny = 2cos(\frac{x + y}{2})sin(\frac{x – y}{2})$$
$$cosx + cosy = 2cos(\frac{x + y}{2})cos(\frac{x – y}{2})$$
$$cos – cosy = -2sin(\frac{x + y}{2})sin(\frac{x – y}{2})$$
$$tanx + tany = \frac{sin(x + y)}{cosxcosy}$$
$$tanx – tany = \frac{sin(x – y)}{cosxsiny}$$
$$cotx + coty = \frac{sin(x + y)}{sinxsiny}$$
$$cotx – coty = \frac{-sin(x – y)}{sinxsiny}$$
Tính Chất Và Ứng Dụng
Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng trong lượng giác học. Bên ngoài lượng giác học, tính tuần hoàn của chúng có ích cho việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; đây là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng.
Các tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác trong lượng giác học được thể hiện ở ba định lý:
Định lý sin
Định lý sin phát biểu cho bất kỳ một tam giác nào: Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng:
$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R$$
Có thể chứng minh định lý này bằng cách chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông, rồi dùng định nghĩa của hàm sin. $$\frac{(sinA)}{a}$$ là nghịch đảo của đường kính đường tròn đi qua ba điểm A, B và C. Định lý sin có thể dùng để tính độ dài của một cạnh khi đã biết độ dài hai cạnh còn lại của tam giác. Đây là bài toán hay gặp trong kỹ thuật tam giác, một kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo các góc và các khoảng cách dễ đo khác.
Định lý cosin
Định lý cos là một kết quả mở rộng của định lý Pytago: Trong lượng giác, định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác phẳng với cosin của góc tương ứng:
$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcosC$$
Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng việc chia tam giác thành hai tam giác vuông. Định lý này có thể được dùng để tìm các dữ liệu chưa biết về một tam giác nếu đã biết độ lớn hai cạnh và một góc.
Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ hơn $$90^0$$ , thì sẽ có hai tam giác thỏa mãn định lý cos, ứng với hai góc C nằm trong khoảng từ 0 đến $$180^0$$ Cùng cho một giá trị cos C.
Định lý tang
Định lý tang phát biểu là: Trong lượng giác, định lý tan biểu diễn mối liên quan giữa chiều dài hai cạnh của một tam giác và tan của hai góc đối diện với hai cạnh đó.
$$\frac{a + b}{a – b} = \frac{tan[\frac{1}{2}(A + B)]}{tan[\frac{1}{2}(A – B)]}$$