Khái niệm Logarit: cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức $$a^α = b$$ được gọi là logarit cơ số a của b và được kí hiệu là $$log_ab$$.
$$α = log_ab ⇔ a^α = b$$
Không có logarit nào của số âm và số 0.
Trong toán học, logarit (trong tiếng Anh là logarithm) của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó.
Ví dụ: logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: $$1000 = 10 × 10 × 10 = 10^3$$. Tổng quát hơn, nếu $$x = b^y$$ thì y được gọi là logarit cơ số b của x và được ký hiệu là $$log_bx$$.
Ý Tưởng Và Định Nghĩa
Ý tưởng của logarit là để đảo ngược lại phép lũy thừa, tức là nâng một số lên một số mũ nào đó. Chẳng hạn, lũy thừa bậc 3 (hay lập phương) của 2 bằng 8, vì 8 là tích của ba thừa số 2 nhân với nhau:
$$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$$
Từ đó, dễ thấy logarit cơ số 2 của 8 bằng 3.
Lũy Thừa
Lũy thừa bậc ba của một số b nào đó là tích của ba thừa số, mỗi thừa số bằng b. Tổng quát hơn, nâng b lên lũy thừa n, với n là một số tự nhiên, tức là ta đã thực hiện phép nhân n thừa số với nhau, mỗi thừa số bằng b. Lũy thừa n của b được ký hiệu là $$b^n$$.
$${b^n = \underbrace {b × b × … × b} _n}$$
Lũy thừa có thể được mở rộng thành dạng $$b^y$$, với b là một số dương và số mũ y là một số thực bất kỳ. Chẳng hạn $$b^{-1}$$ là nghịch đảo của b, hay bằng $$\frac{1}{b}$$. Nâng b lên lũy thừa $$\frac{1}{2}$$ thì được căn bậc hai của b.
Tổng quát hơn nữa, khi nâng b lên lũy thừa hữu tỉ $$\frac{p}{q}$$ với p và q là số nguyên, ta có:
$$b^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{b^p}$$, hay căn bậc q của $$b^p$$.
Cuối cùng, mỗi số vô tỉ y có thể được làm tròn để đưa về các số hữu tỉ. Sử dụng cách này, có thể tính được lũy thừa y của b: chẳng hạn $$\sqrt{2} ≈ 1,414…$$ và $$b^{\sqrt{2}}$$ được tính gần đúng hơn theo dãy số $$b^1, b^{1,4}, b^{1,41}, b^{1,414},…$$
Định Nghĩa
Logarit cơ số b của một số thực dương x là số mũ mà b cần phải được nâng lên để có được x. Nói cách khác, logarit cơ số b của x là nghiệm y của phương trình $$b^y = x$$ và được ký hiệu là logb x. Để giá trị của logarit được xác định thì cơ số b phải là một số thực dương khác 1 và x là một số dương.
Các Đồng Nhất Thức Logarit
Các công thức quan trọng sau đây, gọi là đồng nhất thức logarit, liên hệ các logarit với nhau.
Tích, Thương, Lũy Thừa Và Căn
Logarit của một tích là tổng các logarit của các thừa số; logarit của một thương gồm hai số là hiệu logarit của hai số đó. Logarit của một số lũy thừa p bằng p lần logarit của số đó; logarit của một số căn bậc p là logarit của số đó chia cho p. Bảng dưới đây liệt kê các phép tính logarit cơ bản nêu trên và các ví dụ.
| Công thức | Ví dụ | |
| Tích | $$log_b(xy) = log_bx + log_by$$ | $$log_3243 = log_3(9.27) = log_39 + log_327 = 2 + 3 = 5$$ |
| Thương |
$$log_b\frac{x}{y} = log_bx – log_by$$ | $$log_216 = log_2\frac{64}{4} = log_264 – log_24 = 6 – 2 = 4$$ |
| Lũy thừa |
$$log_b(x^p) = plog_bx$$ | $$log_264 = log_2(2^6) = 6log_22 = 6$$ |
| Căn |
$$log_b\sqrt[p]{x} = \frac{log_bx}{p}$$ | $$log_{10}\sqrt{1000} = \frac{1}{2}log_{10}1000 = \frac{3}{2} = 1,5$$ |
Đổi Cơ Số
Logarit $$log_bx$$ có thể được tính từ logarit cơ số trung gian k của x và b theo công thức:
$$log_bx = \frac{log_kx}{log_kb}$$
Các máy tính bỏ túi điển hình thường tính logarit cơ số 10 và e. Logarit cơ số b bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:
$$log_bx = \frac{log_{10}x}{log_{10}b} = \frac{log_ex}{log_eb}$$
Cho một số x và logarit cơ số b của nó $$log_bx$$ với b chưa biết, thì b được tính bằng
$$b = x^{\frac{1}{log_bx}}$$, bằng cách mũ hóa biểu thức $$x = b^{log_bx}$$ lên số mũ $$\frac{1}{log_bx}$$.
Các Cơ Số Đặc Biệt
Trong các giá trị của cơ số b, có ba cơ số đặc biệt. Chúng gồm b = 10, b = e (hằng số vô tỉ xấp xỉ bằng 2,71828) và b = 2. Trong giải tích toán học, logarit cơ số e là phổ biến nhất nhờ các tính chất được giải thích dưới đây. Mặt khác, có thể dễ dàng tính logarit cơ số 10 trong hệ thập phân:
$$log_{10}(10x) = log_{10}10 + log_{10}x = 1 + log_{10}x$$
Do đó, $$log_{10}x$$ có liên hệ với số chữ số của một số nguyên dương x: đó là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $$log_{10}x$. Chẳng hạn, $$log10_{1430}$$
gần bằng 3,15. Số nguyên liền sau là 4 và là số chữ số trong số 1430. Logarit cơ số e và logarit cơ số 2 thường được dùng trong lý thuyết thông tin, có liên quan đến hai đơn vị cơ bản nhất trong thông tin là nat và bit. Logarit cơ số 2 cũng được sử dụng trong khoa học máy tính (hệ nhị phân); trong lý thuyết âm nhạc (quãng tám, đơn vị cent) và trong nhiếp ảnh để đo giá trị phơi sáng.
Bảng dưới đây liệt kê các ký hiệu logarit thông dụng và lĩnh vực mà chúng được sử dụng. Một số tài liệu viết logx thay vì $$log_bx$$ khi cơ số của logarit là cố định tùy theo trường hợp. Ký hiệu $$^blogx$$ cũng tồn tại. Cột “Ký hiệu ISO” liệt kê các ký hiệu do Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế khuyến nghị (ISO 80000-2).
| Cơ số b | Tên gọi của log_bx | Ký hiệu ISO | Các ký hiệu khác | Sử dụng trong |
| 2 | logarit nhị phân | 1bx | $$1dx, logx, lgx, log_2x$$ | khoa học máy tính, lý thuyết thông tin, lý thuyết âm nhạc, nhiếp ảnh |
| e | logarit tự nhiên | lnx | $$logx$$ (trong toán học và nhiều ngôn ngữ lập trình) | toán học, vật lý, hóa học, thống kê, kinh tế học, lý thuyết thông tin và kỹ thuật |
| 10 | logarit thập phân | lgx | $$log_x, log_{10}x$$ (trong kỹ thuật, sinh học, thiên văn học) | nhiều lĩnh vực trong kỹ thuật (xem decibel và mục Ứng dụng), bảng logarit, máy tính bỏ túi, phổ học |
Tính Chất Trong Giải Tích
Người ta nghiên cứu sâu hơn về logarit thông qua khái niệm hàm số. Hàm số là quy tắc cho một số duy nhất từ một số bất kỳ cho trước. Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậc x của b từ bất kỳ số thực x nào với b là cơ số được viết là $$f(x) = b^x$$.
Hàm Số Logarit
Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh rằng phương trình $$b^x = y$$ có một nghiệm x duy nhất với y và b là số dương và b khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đến định lý giá trị trung gian trong giải tích sơ cấp. Theo định lý, một hàm số liên tục cho hai giá trị m và n cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữa m và n. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị của nó có thể được vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.
Tính chất này có thể được chứng minh là đúng với hàm $$f(x) = b^x$$. Vì f có thể mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên mỗi số y > 0 đều nằm giữa $$f(x_0)$$ và $$f(x_1)$$ với $$x_0$$ và $$x_1$$ thích hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trình $$f(x) = y$$ có một nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm số f là hàm số tăng nếu b > 1 và là hàm số giảm nếu $$0 < b < 1$$.
Nghiệm x đó chính là logarit cơ số b của $$y, log_by$$. Hàm số gán cho y giá trị logarit của nó được gọi là hàm số logarit. Hàm số logarit $$y = log_bx$$ xác định trên tập hợp số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãn $$f(b) = 1$$ và $$f(uv) = f(u) + f(v)$$.
Hàm Ngược
Công thức logarit của một lũy thừa cho thấy với một số x bất kỳ, $$log_b(b^x) = xlog_bb = x$$.
Lần lượt lấy lũy thừa bậc x của b rồi lấy logarit cơ số b, ta lại có được x. Ngược lại, với một số dương y bất kỳ, biểu thức $$b^{log_by} = y$$ cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có được y. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ số b là hàm ngược của $$f(x) = b^x$$.
Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc của nó. Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng $$x = y$$ như hình bên phải: một điểm $$(t, u = b^t)$$ trong đồ thị của f(x) tương ứng với điểm $$(u, t = log_bu)$$ trong đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy, $$log_b(x)$$ phân kỳ lên vô hạn (lớn hơn bất kỳ số nào đã biết) nếu x tăng đến vô hạn, với b lớn hơn 1. Trong trường hợp này, $$log_b(x)$$ là hàm số tăng. Khi b < 1 thì ngược lại, $$log_b(x)$$ dần về âm vô hạn. Khi x dần về 0 thì giới hạn của $$log_bx$$ là âm vô hạn với b > 1 và là dương vô hạn với b < 1.
Đạo Hàm Và Nguyên Hàm
Các tính chất giải tích của hàm số cũng đúng với hàm ngược của chúng. $$f(x) = b^x$$ là một hàm số liên tục và khả vi, và $$log_by$$ cũng vậy. Thông thường, một hàm số liên tục là hàm số khả vi nếu đồ thị của nó không bị “đứt gãy” ở bất cứ điểm nào. Hơn nữa, vì đạo hàm của f(x) bằng $$ln(b)b^x$$ theo tính chất của hàm mũ nên theo quy tắc hàm hợp, đạo hàm của $$log_bx$$ được tính bằng $$\frac{d}{dx}log_bx = \frac{1}{xlnb}$$, tức là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm logarit cơ số b tại điểm $$(x, log_b(x))$$ bằng $$\frac{1}{(x ln(b))}$$. Đặc biệt, đạo hàm của ln(x) là $$\frac{1}{x}$$, nghĩa là nguyên hàm của $$\frac{1}{x}$$ bằng $$ln(x) + C$$. Đạo hàm với đối số hàm tổng quát f(x) là $$\frac{d}{dx}lnf(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$$.
Tỉ số ở vế phải được gọi là đạo hàm logarit của f(x). Việc tính f'(x) bằng đạo hàm của ln(f(x)) được gọi là vi phân logarit. Nguyên hàm của hàm logarit tự nhiên ln(x) là: $$\int ln(x)dx = xln(x) – x + C$$.
Từ phương trình này, có thể suy ra các công thức liên quan chẳng hạn như nguyên hàm của logarit cơ số khác bằng phép đổi cơ số.
Biểu Diễn Tích Phân Của Logarit Tự Nhiên
Logarit tự nhiên của t bằng tích phân của $$\frac{1}{x}dx$$ từ 1 đến t:
$$ln(t) = \int_{1}^{t}\frac{1}{x}dx.$$
Nói cách khác, ln(t) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số $$\frac{1}{x}$$, từ x = 1 đến x = t (hình bên phải). Đó là hệ quả từ việc áp dụng định lý cơ bản của giải tích và việc đạo hàm của ln(x) là $$\frac{1}{x}$$. Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm về logarit tự nhiên. Các công thức logarit của tích và lũy thừa đều có thể được suy ra từ khái niệm này. Chẳng hạn, ta có công thức tích $$ln(tu) = ln(t) + ln(u)$$ vì
$$ln(tu) = \int_{1}^{tu}\frac{1}{x}dx{\stackrel {(1)}{=}} \int_{1}^{t} \frac{1}{x}dx + \int_{t}^{tu}\frac{1}{x}dx {\stackrel {(2)}{=}} ln(t) + \int_{1}^{u} \frac{1}{ω}dω = ln(t) + ln(u).$$
Đẳng thức (1) chia tích phân thành hai phần, còn đẳng thức (2) là phép đổi biến số $$(w = \frac{x}{t})$$. Trong hình dưới đây, phép tách tích phân này tức là chia hình phẳng thành hai phần màu vàng và màu xanh. Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biến t và thu nhỏ lại nó theo hàng ngang theo tỉ lệ đó không làm thay đổi diện tích của nó. Di chuyển phần hình màu xanh một cách thích hợp thì nó lại khớp với đồ thị hàm số $$f(x) = \frac{1}{x}$$. Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức là tích phân của f(x) từ t đến tu bằng tích phân từ 1 đến u. Tính chất này giải thích cho đẳng thức (2) một cách trực quan.
Chứng minh tương tự, ta cũng có công thức lũy thừa $$ln(t^r) = r ln(t)$$:
$$ln(t^r) = \int_{1}^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_{1}^{t}\frac{1}{ω^r}(rω^{r – 1}dω) = r\int_{1}^{t}\frac{1}{ω}dω = rln(t).$$
Phép biến đổi thứ hai có sự thay đổi biến số $$w = x^{\frac{1}{r}}.$$
Tổng của dãy nghịch đảo các số tự nhiên, $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{k}$$, được gọi là chuỗi điều hòa. Nó có liên hệ với logarit tự nhiên: khi n tiến đến vô hạn thì hiệu $$\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k} – ln(n)$$ hội tụ về một số được gọi là hằng số Euler–Mascheroni γ = 0,5772…. Mối liên hệ này có vai trò trong việc phân tích hoạt động của các thuật toán, chẳng hạn như sắp xếp nhanh.
Ngoài ra, ln(x) còn có một biểu diễn tích phân được suy ra từ tích phân Frullani khi $$f(x) = e^{-x}$$ và a = 1, được ứng dụng trong vật lý và một số trường hợp khác:
$$ln(x) = -\lim_{ϵ → 0}\int_{ϵ}^{∞} \frac{dt}{t}(e^{-xt} – e^{-t})$$
Tính Siêu Việt
Số thực không phải là số đại số được gọi là số siêu việt. π và e là hai số như vậy, còn $$\sqrt{2 – \sqrt{3}}$$ không phải là số siêu việt. Hầu hết số thực đều là số siêu việt. Logarit là một ví dụ về một hàm số siêu việt. Định lý Gelfond–Schneider khẳng định rằng logarit thường cho các giá trị siêu việt.