Phép tính thể tích và diện tích trong hình học, giờ đây các bạn có thể tính thể tích và diện tích trực tuyến của: hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hịnh trụ tròn, hình nón, hình cầu, hình lăng trụ, hình chóp.
Để nắm bắt kiến thức một cách tốt nhất, sau đây mời các bạn ôn tập khái niệm, định nghĩa và công thức tính thể tích và diện tích trong hình học.
I. Diện Tích
Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai chiều hoặc lamina phẳng, trong mặt phẳng. Diện tích bề mặt là tương tự của diện tích trên bề mặt hai chiều của một vật thể ba chiều. Diện tích có thể được hiểu là lượng vật liệu có độ dày nhất định sẽ cần thiết để tạo kiểu cho mô hình hình dạng hoặc lượng sơn cần thiết để phủ lên bề mặt bằng một lớp sơn. Nó là tương tự về mặt hai chiều đối với chiều dài của đường cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm ba chiều).
II. Công Thức Diện Tích Trong Hình Học
Đa Giác
Đối với một đa giác không tự cắt (đa giác đơn), tọa độ Descartes $$(x_i, y_i) (i = 0, 1,…, n – 1)$$ của n đỉnh đã biết, diện tích được cho bởi công thức của người đóng móng:
$$A = \frac{1}{2}|\sum_{i = 0}^{n – 1}(x_iy_{i +1} – x_{i + 1}y_i)|$$
trong đó khi $$i = n – 1$$, thì $$i + 1$$ được biểu thị dưới dạng môđun n và do đó quy về 0.
Hình Chữ Nhật
Công thức diện tích cơ bản nhất là công thức diện tích hình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật có chiều dài l và chiều rộng w, công thức của diện tích là: $$A = lw$$.
Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Trong trường hợp đặc biệt, vì $$l = w$$ trong trường hợp hình vuông, diện tích của hình vuông có độ dài cạnh s được cho bởi công thức: $$A = s^2$$.
Công thức cho diện tích hình chữ nhật trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản của diện tích, và đôi khi được coi là một định nghĩa hoặc tiên đề. Mặt khác, nếu hình học được phát triển trước số học, công thức này có thể được sử dụng để định nghĩa phép nhân các số thực.
Phương Pháp Tách Hình, Hình Bình Hành Và Hình Tam Giác
Hầu hết các công thức đơn giản khác cho diện tích đều tuân theo phương pháp tách hình. Điều này bao gồm việc cắt một hình thành từng hình nhỏ, và việc tính diện tích hình đó sẽ là việc dùng phép cộng các diện tích các hình con.
Ví dụ, bất kỳ hình bình hành nào cũng có thể được chia nhỏ thành hình thang và tam giác vuông, như thể hiện trong hình bên trái. Nếu tam giác được di chuyển sang phía bên kia của hình thang, thì hình thu được là một hình chữ nhật. Theo đó diện tích của hình bình hành bằng diện tích của hình chữ nhật đó: $$A = bh$$ (hình bình hành).
Tuy nhiên, cùng một hình bình hành cũng có thể được cắt theo một đường chéo thành hai tam giác tương đẳng, như trong hình bên phải. Như vậy diện tích của mỗi tam giác bằng một nửa diện tích của hình bình hành: $$A = \frac{1}{2}bh$$ (Tam giác).
Các phép chứng minh tương tự có thể được sử dụng để tìm công thức diện tích cho hình thang cũng như các đa giác phức tạp hơn.
Hình Tròn
Công thức tính diện tích hình tròn (được gọi đúng hơn là diện tích được bao bởi hình tròn hay diện tích đĩa) dựa trên một phương pháp tương tự. Cho một vòng tròn bán kính r𝑟 nó có thể phân vùng các vòng tròn vào các lĩnh vực, như thể hiện trong hình bên phải. Mỗi cung có dạng hình tam giác gần đúng và các cung có thể được sắp xếp lại để tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành này là r𝑟, và chiều rộng bằng nửa chu vi của hình tròn, hay $$πr$$. Như vậy, tổng diện tích của hình tròn là $$πr^2: A = πr^2$$ (hình tròn)
Mặc dù việc phân tách hình tròn được sử dụng trong công thức này chỉ là gần đúng, nhưng sai số ngày càng nhỏ hơn khi vòng tròn được phân chia thành ngày càng nhiều cung. Giới hạn diện tích của các hình bình hành gần đúng là $$πr^2$$, là diện tích của hình tròn.
Lập luận này thực sự là một ứng dụng đơn giản của các ý tưởng của phép tính vi tích phân. Trong thời cổ đại, phương pháp cạn kiệt được sử dụng một cách tương tự để tìm diện tích hình tròn, và phương pháp này ngày nay được công nhận là tiền thân của phép tính tích phân. Sử dụng các phương pháp hiện đại, diện tích hình tròn có thể được tính bằng cách sử dụng một tích phân xác định:
$$A = 2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 – x^2}dx = πr^2$$
Hình Elip
Công thức cho diện tích được bao bởi một hình elip có liên quan đến công thức của một hình tròn; đối với một hình elip với các bán trục chính và bán trục phụ x và y, với công thức là: $$A = πxy$$
Diện Tích Bề Mặt
Hầu hết các công thức cơ bản cho diện tích bề mặt có thể thu được bằng cách cắt các bề mặt và làm phẳng chúng. Ví dụ, nếu bề mặt bên của một hình trụ (hoặc bất kỳ hình lăng trụ nào) được cắt theo chiều dọc, bề mặt đó có thể được làm phẳng thành hình chữ nhật. Tương tự, nếu một vết cắt được thực hiện dọc theo mặt bên của hình nón, bề mặt bên có thể được làm phẳng thành một phần của hình tròn và diện tích kết quả có thể được tính ra.
Công thức cho diện tích bề mặt của một hình cầu khó tìm hơn: bởi vì một hình cầu có độ cong Gauss khác 0, nó không thể bị cán dẹt ra. Công thức về diện tích bề mặt của một hình cầu lần đầu tiên được Archimedes thu được trong tác phẩm Về hình cầu và hình trụ. Công thức là: $$A = 4πr^2$$ (hình cầu), với r là bán kính của hình cầu. Cũng giống như công thức về diện tích hình tròn, bất kỳ suy luận nào của công thức này đều sử dụng các phương pháp tương tự như tích phân.
III. Các Công Thức Thông Dụng
| Hình | Công thức | Biến số | Cách đọc |
| Hình chữ nhật | $$a.b$$ | a: chiều dài; b: chiều rộng | Diện tích bằng tích chiều dài 2 cạnh. |
| Hình vuông | $$a^2$$ | a: Chiều dài cạnh hình vuông. | Diện tích bằng bình phương chiều dài 1 cạnh. |
| Hình bình hành | $$a.h$$ | a: Chiều dài 1 cạnh; h: chiều cao tương ứng với a. | Diện tích bằng 1 cạnh nhân với chiều cao tương ứng với cạnh đó. |
| Tam giác | $$\frac{1}{2}b.h$$ | b: cạnh đáy; h: chiều cao. | Diện tích bằng 1 nửa tích chiều dài 1 cạnh với đường cao tương ứng với nó. |
| Hình tròn | $$π.R^2$$ | R: bán kính | Diện tích bằng số pi nhân với bình phương bán kính |
| Hình e-líp | $$π.a.b$$ | a và b độ dài nửa trục thực và nửa trục ảo. | |
| Mặt cầu | $$4πr^2$$ hoặc $$πd^2$$ | r: bán kính; d: đường kính hình cầu. | Diện tích bằng số Pi nhân với bình phương chiều dài đường kính. |
| Hình thang | $$\frac{1}{2}(a + b)h$$ | a và b: các cạnh đáy, h: chiều cao | Diện tích bằng trung bình cộng 2 đáy nhân với chiều cao. |
| Hình trụ tròn | $$2πr(h + r)$$ | r: bán kính; h: chiều cao. | |
| Diện tích xung quanh của hình trụ | $$2πrh$$ | r: bán kính; h: chiều cao | |
| Mặt nón | $$πr(l + r)$$ | r: bán kính, l: độ dài đường sinh (slant height). | |
| Diện tích xung quanh của hình nón | $$πrl$$ | r: bán kính, l: độ dài đường sinh (slant height). | |
| Hình quạt | $$\frac{πr^2θ}{360} = \frac{lr}{2}$$ | r: bán kính, θ: số đo góc ở tâm, l: là độ dài cung. |
IV. Thể Tích
Thể tích, hay dung tích, của một vật là lượng không gian mà vật ấy chiếm. Thể tích có đơn vị đo là lập phương của khoảng cách (khoảng cách mũ 3). Trong Hệ đo lường quốc tế, do đơn vị đo của khoảng cách là mét, đơn vị đo của thể tích là mét khối, ký hiệu là $$m^3$$.
V. Đơn Vị Thể Tích
Bất kỳ đơn vị độ dài nào cũng có đơn vị thể tích tương ứng: thể tích của khối lập phương có các cạnh có chiều dài nhất định. Ví dụ, một xen-ti-mét khối $$(cm^3)$$ là thể tích của khối lập phương có cạnh là một xentimét (1cm).
Trong Hệ đo lường quốc tế (SI), đơn vị tiêu chuẩn của thể tích là mét khối $$(m^3)$$. Hệ mét cũng bao gồm đơn vị lít (litre) (kí hiệu: L) như một đơn vị của thể tích, trong đó một lít là thể tích của khối lập phương 1dm. Như vậy:
$$1 \, \, lít \, \, = (1 dm)^3 = 1000 cm^3 = 0.001 m^3$$
vậy
$$1m^3 = 1000 \, \, lít.$$
Một lượng nhỏ chất lỏng thường được đo bằng đơn vị mililít (ml) (Tiếng Anh: mililitre)
1ml = 0.001 lít = 1 xentimét khối.
Cũng như vậy, một lượng lớn chất lỏng thường được đo bằng đơn vị mêgalít (Tiếng Anh: megalitre)
1 000 000 lít = 1000 mét khối = 1 mêgalít (Ml). (Lưu ý Megalitre được kí hiệu là Ml, không phải ml như mililitre)
VI. Đơn Vị Đo Thể Tích Trong Cuộc Sống
Trong cuộc sống hàng ngày tại Việt Nam và phần lớn các quốc gia sử dụng các đơn vị đo lường của hệ đo lường quốc tế (SI) thì đơn vị đo thể tích (cũng như dung tích) thường được sử dụng là lít $$(1000 lít = 1m^3)$$ hay lít (viết tắt l) $$(1l = 1000 cm^3)$$ do đơn vị mét khối là tương đối lớn, không phù hợp lắm cho nhiều tính toán trong các hoạt động hàng ngày.
VII. Quan Hệ Giữa Thể Tích Và Khối Lượng
Thể tích của một vật đặc và đồng nhất (về cấu tạo) với một hình dạng bất kỳ được tính theo công thức sau: $$V = \frac{m}{D}$$
Trong đó:
- m: là khối lượng của vật.
- D: là khối lượng riêng của chất tạo ra vật đó.
VIII. Một Số Công Thức Tính
Bảng dưới đây liệt kê một số công thức tính thể tích của một số hình đơn giản.
| Hình | Thể tích |
| Hình hộp chữ nhật | a x b x c với a là chiều dài,b là chiều rộng, c là chiều cao của hình hộp chữ nhật. |
| Hình lập phương | $$a^3$$ với a là cạnh hình lập phương. |
| Hình cầu | $$\frac{4πr^3}{3}$$ với r là bán kính. |
| Hình nón | $$\frac{πr^2h}{3}$$ với r là bán kính đáy, h là chiều cao. |
| Hình trụ tròn | $$πr^2h$$ với r là bán kính đáy, h là chiều cao. |
| Hình elipxoít | $$\frac{4πabc}{3}$$ với a, b, c là các bán trục. |
| Hình chóp đều | $$\frac{Sh}{3}$$ với S là diện tích đáy, h là chiều cao. |
| Hình lăng trụ đứng | Sh với S là diện tích đáy, h là chiều cao. |
| Hình bất kỳ | $$\int A(h)dh$$ với h là một kích thước theo một chiều bất kỳ của vật, A là diện tích phần tiết diện vuông góc với h, được biểu diễn dưới dạng hàm số của h. |