Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Lôgarit
Nội dung Bài 3: Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12, sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và các công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa trong lý thuyết các bạn sẽ biết vận dụng lôgari để giải toán.
I. Khái Niệm Lôgarit
Câu hỏi 1 bài 3 trang 62 SGK giải tích lớp 12: Tìm x để:
a. \(\)\(2^x = 8\)
b. \(2^x = \frac{1}{4}\)
c. \(3^x = 81\)
d. \(5^x = \frac{1}{125}\)
Giải:
Câu a: \(2^x = 8\)
Sử dụng lý thuyết \(a^m = a^n ⇔ m = n\) với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa.
\(2^x = 8 ⇔ 2^x = 2^3 ⇔ x = 3\)
Câu b: \(2^x = \frac{1}{4}\)
Sử dụng lý thuyết \(a^m = a^n ⇔ m = n\) với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa.
\(2^x = \frac{1}{4} ⇔ 2^x = 2^{-2} ⇔ x = -2\)
Câu c: \(3^x = 81\)
Sử dụng lý thuyết \(a^m = a^n ⇔ m = n\) với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa.
\(3^x = 81 ⇔ 3^x = 3^4 ⇔ x = 4\)
Câu d: \(5^x = \frac{1}{125}\)
Sử dụng lý thuyết \(a^m = a^n ⇔ m = n\) với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa.
\(5^x = \frac{1}{125} ⇔ 5^x = 5^{-3} ⇔ x = -3\)
Cho số a dương, phương trình \(a^α = b\) đưa đến hai bài toán ngược nhau:
- Biết α, tính b.
- Biết b, tính α.
Bài toán thứ nhất là tính luỹ thừa với số mũ thực của một số, Bài toán thứ hai dẫn đến khái niệm lấy lôgarit của một số. Người ta chứng minh được rằng với hai số dương a, b, α ≠ 1, luôn tồn tại duy nhất số α sao cho \(a^α = b\).
1. Định nghĩa
Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức \(a^α = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \(log_ab\).
\(α = log_ab ⇔ a^α = b (a, b > 0, a ≠ 1)\)
Ví dụ 1:
a. \(log_28 = 3\) vì \(2^3 = 8\)
b. \(log_{\frac{1}{3}}9 = -2\) vì \((\frac{1}{3})^{-2} = 9\)
Câu hỏi 2 bài 3 trang 63 SGK giải tích lớp 12:
a. Tính \(log_{\frac{1}{2}}4, log_3\frac{1}{27}\)
b. Có số \(x, y\) nào để \(3^x = 0, 2^y = -3\) hay không?
Giải:
Câu a: Tính \(log_{\frac{1}{2}}4, log_3\frac{1}{27}\)
Tìm một số thực x thỏa mãn \((\frac{1}{2})^x = 4\).
Tìm một số thực thỏa mãn \(3^x = \frac{1}{27}\)
\(log_{\frac{1}{4}}4 = -2\) vì \((\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{2^{-2}} = 4\)
\(log_3\frac{1}{27} = -3\) vì \(3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}\)
Câu b: Có số x, y nào để \(3^x = 0, 2^y = -3\) hay không?
Nhận xét giá trị của \(3^x\) và \(2^y\) suy ra kết luận.
Không có số x, y nào để \(3^x = 0; 2^y = -3\) vì \(3^x > 0; 2^y > 0\) với mọi \(x, y\).
Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.
2. Tính chất
Cho hai số dương a và b, a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây.
\(log_a1 = 0, log_aa = 1\)
\(a^{log_ab} = b, log_a(a^α) = α\)
Câu hỏi 3 bài 3 trang 63 SGK giải tích lớp 12: Hãy chứng minh các tính chất trên.
Giải: Sử dụng định nghĩa \(α = log_ab ⇔ b = a^α\)
Ta có:
\(a^0 – 1 ⇔ 0 = log_a1\)
\(a^1 = a ⇔ 1 = log_aa\)
Đặt \(α = log_ab\). Từ định nghĩa lôgarit ta có:
\(α = log_ab ⇔ b = a^α = a^{log_ab}\)
\(⇒ b = a^{log_ab}\)
Đặt \(log_aa^α = b\)
Theo định nghĩa \(a^α = a^b ⇒ α = b\)
Vậy \(log_aa^α = b = α\).
Ví dụ 2:
Câu a: \(3^{2log_35} = (3^{log_35})^2 = 5^2 = 25\)
Câu b: \(log_{\frac{1}{2}}8 = log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{-3} = -3\)
Câu hỏi 4 bài 3 trang 64 SGK giải tích lớp 12: Tính \(4^{log_2\frac{1}{7}}; (\frac{1}{25})^{log_5\frac{1}{3}}\)
Giải: Sử dụng các công thức \((a^m)^n = (a^n)^m; a^{log_ab} = b\).
\(4^{log_2\frac{1}{7}} = 2^{2log_2\frac{1}{7}}\)
\(= (2^{log_2\frac{1}{7}})^2 = (\frac{1}{7})^2 = \frac{1}{49}\)
\((\frac{1}{25})^{log_5\frac{1}{3}} = 5^{-2log_5\frac{1}{3}} = (5^{log_5\frac{1}{3}})^{-2}\)
\(= (\frac{1}{3})^{-2} = 9\)
II. Quy Tắc Tính Lôgarit
Câu hỏi 5 bài 3 trang 64 SGK giải tích lớp 12:
Cho \(b_1 = 2^3, b_2 = 2^5\)
Tính \(log_2b_1 + log_2b_2; log_2(b_1b_2)\) và so sánh các kết quả.
Giải:
Sử dụng công thức \(log_aa^n = n\) và \(log_a(bc) = log_ab + log_ac\)
\(log_2b_1 + log_2b_2 = log_22^3 + log_22^5 = 3 + 5 = 8\)
\(log_2b_1b_2 = log_2(2^3.2^5) = log(2^{3 + 5}) = log_22^8 = 8\)
Vậy \(log_2b_1 + log_2b_2 = log_2b_1b_2\)
1. Lôgarit của một tích
Định lý 1: Cho ba số dương \(a, b_1, b_2\) với \(a ≠ 1\), ta có \(log_a(b_1b_2) = log_ab_1 + log_ab_2\).
Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.
Chứng minh. Đặt \(α_1 = log_ab_1, α_2 = log_ab_2\), ta có
\(α_1 + α_2 = log_ab_1 + log_ab_2\) (1)
Mặt khác, vì \(b_1 = a^{α_1}, b_2 = a^{α_2}\), suy ra \(b_1b_2 = a^{α_1}.a^{α_2} = a^{α_1 + α_2}\)
Do đó \(α_1 + α_2 = log_a(b_1b_2)\) (2)
Từ (1), (2) suy ra
\(log_a(b_1b_2) = log_ab_1 + log_ab_2\)
Ví dụ 3: Tính \(log_69 + log_64\)
Giải: \(log_69 + log_64 = log_6(9.4) = log_636 = 2\)
Chú ý: Định lý 1 có thể mở rộng cho tích của n số dương:
\(log_a(b_1b_2…b_n) = log_ab_1 + log_ab_2 + … + log_ab_n\)
\((a, b_1, b_2,…, b_n > 0, a ≠ 1)\)
Câu hỏi 6 bài 3 trang 65 SGK giải tích lớp 12: Tính \(log_{\frac{1}{2}}2 + 2log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3} + log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{8}\)
Giải: Sử dụng công thức logarit của một tích \(log_ab_1 + log_ab_2 + … + log_ab_n = log_a(b_1b_2… b_n)\)
\(log_{\frac{1}{2}}2 + 2log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3} + log_{\frac{1}{2}}\frac{8}{3}\)
\(= log_{\frac{1}{2}}2 + log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3} + log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3} + log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{8}\)
\(= log_{\frac{1}{2}}(2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{3}{8}) = log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{12}\)
2. Lôgarit của một phương
Câu hỏi 7 bài 3 trang 65 SGK giải tích lớp 12: Cho \(b_1 = 2^5, b_2 = 2^3\). Tính \(log_2b_1 – log_2b_2, log_2\frac{b_1}{b_2}\) và so sánh các kết quả.
Giải: \(log_2b_1 – log_2b_2 = log_22^5 – log_22^3 = 5 – 3 = 2\)
\(log_2\frac{b_1}{b_2} = log_2\frac{2^5}{2^3} = log_22^2 = 2\)
\(⇒ log_2b_1 – log_2b_2 = log_2\frac{b_1}{b_2}\)
Định lý 2: Cho ba số dương \(a, b_1, b_2\) với \(a ≠ 1\), ta có
\(log_a\frac{b_1}{b_2} = log_ab_1 – log_ab_2\)
Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.
Định lý 2 được chứng minh tương tự Định lí 1.
Ví dụ 4: Tính \(log_749 – log_7343\)
Giải: \(log_749 – log_7343 = log_7\frac{49}{343} = log_7\frac{1}{7} = -log_77 = -1\)
3. Lôgarit của một lũy thừa
Định lí 3: Cho hai số dương \(a, b; a ≠ 1\). Với mọi α, ta có \(log_ab^α = αlog_ab\).
Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
Đặc biệt: \(log_a\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}log_ab\)
Chứng minh. Đặt \(β = log_ab\) thì \(b = a^β\)
Do đó: \(b^α = (a^β)^α = a^{αβ}\)
Suy ra \(αβ = log_ab^α\) hay \(αlog_ab = log_ab^α\)
Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức:
a. \(log_24^{\frac{1}{7}}\)
b. \(log_5\sqrt{3} – \frac{1}{2}log_515\)
Giải:
Câu a: \(log_24^{\frac{1}{7}} = log_22^{\frac{2}{7}} = \frac{2}{7}log_22 = \frac{2}{7}\)
Câu b: \(log_5\sqrt{5} – \frac{1}{2}log_515 = log_5\sqrt{3} – log_5\sqrt{15}\)
\(= log_5\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}} = log_5\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(= log_55^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}\)
III. Đổi Cơ Số
Câu hỏi 8 bài 3 trang 66 SGK giải tích lớp 12: Cho \(a = 4, b = 64, c = 2\). Tính \(log_ab, log_ca, log_cb\).
Tìm một hệ thức liên hệ giữa ba kết quả thu được.
Giải:
\(log_ab = log_464 = log_44^3 = 3\)
\(log_ca = log_24 = log_22^2 = 2\)
\(log_cb = log_264 = log_22^6 = 6\)
\(3.2 = 6 ⇒ log_ab.log_ca = log_cb\)
Định lí 4: Cho ba số dương a, b, c với \(a ≠ 1, c ≠ 1\), ta có \(log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}\)
Đặc biệt \(log_ab = \frac{1}{log_ba}\) (b ≠ 1)
\(log_{a^α}b = \frac{1}{α}log_ab\) (a ≠ 0)
Chứng minh. Theo tính chất của Lôgarit và định lí 3, ta có
\(log_cb = log_c(a^{log_ab}) = log_ab.log_ca\)
Vì \(a ≠ 1\) nên \(log_ca ≠ 0\). Do đó
\(log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}\)
IV. Ví Dụ Áp Dụng
Ví dụ 6. Tính
a. \(2^{log_415}\)
b. \(3^{log_{\frac{1}{27}}2}\)
Giải:
Câu a: Ta có \(log_415 = log_{2^2}15 = \frac{1}{2}log_215 = log_2\sqrt{15}\)
Do đó \(2^{2^{log_415}} = 2^{log_2\sqrt{15}} = \sqrt{15}\)
Câu b: Vì \(log_{\frac{1}{27}}2 = log_{3^{-3}}2 = -\frac{1}{3}log_32\)
\(= log_32^{-\frac{1}{3}} = log_3\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
nên \(3^{log_{\frac{1}{27}}2} = 3^{log_3\frac{1}{\sqrt[3]{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
Ví dụ 7. Cho \(α = log_220\). Hãy tính \(log_{20}5\) theo α.
Giải: Ta có:
\(α = log_220 = log_2(2^2.5) = 2log_22 + log_25 = 2 + log_25\)
suy ra \(log_25 = α – 2\)
Vậy \(log_{20}5 = \frac{log_25}{log_220} = \frac{α – 2}{α}\)
Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức
\(A = log_{\frac{1}{3}}7 + 2log_949 – log_{\sqrt{3}}\frac{1}{7}\)
Giải: Ta có:
\(A = log_{3^{-1}}7 + 2log_{3^2}(7^2) – log_{3^{\frac{1}{2}}}(7^{-1})\)
\(= -log_37 + 2log_37 + 2log_37 = 3log_37\)
Ví dụ 9. So sánh các số \(log_23\) và \(log_65\).
Giải: Đặt \(α = log_23, β = log_65\).
Ta có \(2^α = 3 > 2^1\) nên \(α > 1; 6^β = 5 < 6^1\) nên \(β < 1\).
Suy ra \(α > β\)
Vậy \(log_23 > log_65\)
V. Lôgarit Thập Phân. Lôgarit Tự nhiên
1. Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là Lôgarit cơ số 10. \(log_{10}b\) thường được viết là logb hoặc lgb.
2. Lôgarit tự nhiên
Người ta chứng minh được dãy số \((u_n)\) với \(u_n = (1 + \frac{1}{n})^n\) có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e, \(e = \lim_{n → +∞}(1 + \frac{1}{n})^n\)
Một giá trị gần đúng của e là e ≈ 2,718 281 828 459 045
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. \(log_eb\) được viết là lnb.
Chú ý: Muốn tính \(log_ab\), với a ≠ 10 và a ≠ e, bằng máy tính bỏ túi, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số.
Chẳng hạn,
\(log_23 = \frac{log3}{log2} = 1,584 962 501\)
\(log_30,8 = \frac{ln0,8}{ln3} = -0,203 114 013\)
Bài Tập Bài 3: Lôgarit
Hướng dẫn giải Bài 3: Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn tìm hiểu khái niệm và tính chất của lôgarit. Quy tắc lôgarit, đổi cơ số và lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.
Bài Tập 1 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a. \(log_{2}\frac{1}{8}\).
b. \(log_{\frac{1}{4}}2\).
c. \(log_{3}\sqrt[4]{3}\).
d. \(log_{0,5}0,125\).
Bài Tập 2 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính:
a. \(4^{log_23}\).
b. \(27^{log_92}\).
c. \(9^{log_{\sqrt{3}}2}\).
d. \(4^{log_827}\).
Bài Tập 3 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
Rút gọn biểu thức:
a. \(log_36.log_89.log_62\)
b. \(log_ab^2 + log_{a^2}b^4\)
Bài Tập 4 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
So sánh các cặp số sau:
a. \(log_35\) và \(log_74\)
b. \(log_{0,3}2\) và \(log_53\)
c. \(log_210\) và \(log_530\)
Bài Tập 5 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
a. Cho \(a = log_{30}3, b = log_{30}5\). Hãy tính \(log_{30}1350\) theo a, b.
b. Cho \(c = log_{15}3\). Hãy tính \(log_{25}15\) theo c.
Nội dung lý thuyết Bài 3: Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12, giúp các bạn tìm hiểu khái niệm tính chất lôgarit, cùng với đó là quy tắc, đổi cơ số và lôgarit tự nhiên, lôgarit thập phân. Bạn thấy nội dung bài học này thế nào, để lại ý kiến đóng góp duới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập Trắc Nghiệm Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
- Ôn Tập Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
- Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit
- Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit
- Bài 4: Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit
- Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa
- Bài 1: Lũy Thừa
Trả lời